---
title: "Logaritmos y sus propiedades · Quedé"
description: "Qué pregunta un logaritmo, cómo se convierte en potencia y cómo se separan productos, cocientes y exponentes de la misma base."
url: "https://quede.app/aprende/matematicas/logaritmos"
updated: "2026-10-03"
---

# Logaritmos y sus propiedades

Matemáticas [Funciones exponenciales y logarítmicas](https://quede.app/materias/matematicas/funciones-exponenciales-logaritmicas)

Un logaritmo responde qué exponente le hace falta a una base para llegar a un número. El de un producto es una suma, el de un cociente es una resta y el de una potencia baja el exponente al frente.[1](#fuente-log-def) [2](#fuente-log-prop)

Actualizado el 3 de octubre de 2026 3 min de lectura

## Antes de esto

Esta página da por hecho que ya entiendes:

- [Leyes de los exponentes y exponentes racionales Cómo se suman, se restan y se multiplican los exponentes, y qué significan un exponente cero, uno negativo y uno que es fracción. 3 min](https://quede.app/aprende/matematicas/leyes-de-los-exponentes)

## ¿Qué exponente esconde un logaritmo?

En una potencia la base y el exponente ya están escritos y el resultado es lo que buscas. El logaritmo voltea esa pregunta: conoces la base y el resultado, y el exponente es la incógnita. Por eso se apoya en las [potencias de la misma base](https://quede.app/aprende/matematicas/leyes-de-los-exponentes). Si $y = \log_a x$, entonces $x = a^y$. La base cumple $a > 0$ y $a \neq 1$, y el argumento cumple $x > 0$. [1](#fuente-log-def)

## Ideas clave

- **El logaritmo es el exponente.** $\log_a x = y$ y $a^y = x$ dicen lo mismo. La base queda abajo en el logaritmo y pasa a ser la base de la potencia. [1](#fuente-log-def)
- **Dos valores que salen de la definición.** $\log_a 1 = 0$ porque $a^0 = 1$. $\log_a a = 1$ porque $a^1 = a$. [2](#fuente-log-prop)
- **Deshacer la potencia.** Si $a > 0$, $a \neq 1$ y $x > 0$, entonces $a^{\log_a x} = x$ y $\log_a (a^x) = x$. [2](#fuente-log-prop)
- **Producto, cociente y potencia.** Con argumentos positivos, $\log_a (M \cdot N) = \log_a M + \log_a N$, $\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$ y $\log_a (M^p) = p \log_a M$. [2](#fuente-log-prop)
- **Bases 10 y e.** Si no se escribe la base, $\log x$ es base 10 y equivale a $x = 10^y$. $\ln x$ es base $e$ y equivale a $x = e^y$. [1](#fuente-log-def)
- **Cambio de base.** Para $M > 0$ y bases positivas distintas de 1, $\log_a M = \frac{\log_b M}{\log_b a}$. Con la calculadora se usa base 10 o base $e$. [3](#fuente-log-cambio)

## Ejemplos resueltos

### Separar un cociente con potencias

Escribe $\log_5 \frac{25 a^3}{b}$ como suma y resta, con $a > 0$ y $b > 0$.

1. El cociente se vuelve resta: $\log_5 (25 a^3) - \log_5 b$. [2](#fuente-log-prop)
2. El producto de arriba se vuelve suma: $\log_5 25 + \log_5 (a^3) - \log_5 b$. [2](#fuente-log-prop)
3. $\log_5 25 = 2$ porque $5^2 = 25$, y el exponente 3 baja: $2 + 3 \log_5 a - \log_5 b$. [1](#fuente-log-def) [2](#fuente-log-prop)
4. El 3 solo multiplica a $\log_5 a$. No multiplica a $\log_5 25$ ni cambia el signo de $\log_5 b$.

### Armar un solo logaritmo

Si $\log 2 = p$ y $\log 5 = q$, expresa $\log 50$ con $p$ y $q$.

1. $50 = 2 \cdot 5^2$, así que $\log 50 = \log (2 \cdot 5^2)$. [2](#fuente-log-prop)
2. El producto se parte: $\log 2 + \log (5^2) = p + 2 \log 5$. [2](#fuente-log-prop)
3. Queda $p + 2q$. No es $2pq$ ni $p^2 + q$.
4. Comprueba el caso pequeño: $\log 10 = \log (2 \cdot 5) = p + q$, que es otra expresión. El 2 del exponente de 5 no se pierde en $\log 50$.

### Un valor exacto y un cambio de base

Calcula $\log_2 32 + \log_4 1 - \log_3 \frac{1}{27}$ y deja indicado $\log_7 20$ con logaritmos de base 10.

1. $32 = 2^5$, así que el primer término es 5. El logaritmo de 1 es 0 en cualquier base permitida. [1](#fuente-log-def) [2](#fuente-log-prop)
2. $\frac{1}{27} = 3^{-3}$, así que $\log_3 \frac{1}{27} = -3$. Restar $-3$ suma 3. El total es $5 + 0 - (-3) = 8$. [2](#fuente-log-prop)
3. $\log_7 20 = \frac{\log 20}{\log 7}$. Esa fracción es el valor, no una resta. [3](#fuente-log-cambio)

## Errores comunes

Partir una suma. $\log_a (M + N)$ no es $\log_a M + \log_a N$. La suma de logaritmos es el logaritmo de un producto. [2](#fuente-log-prop)

Repartir el exponente a todos los factores. En $\log_5 (25 a^3)$ el 3 solo acompaña a $a$. El 25 ya es una potencia de la base y se evalúa aparte. [2](#fuente-log-prop)

Cambiar el signo del cociente. $\log_a M - \log_a N$ es el logaritmo del cociente, no el logaritmo de la resta, y el término de abajo se resta. [2](#fuente-log-prop)

Confundir la base callada. $\log 1000 = 3$ porque $10^3 = 1000$. $\ln e = 1$. No son el mismo botón de la calculadora. [1](#fuente-log-def)

## Cómo lo pregunta el examen

Una pregunta pide desarrollar un logaritmo de un cociente. Separa primero el cociente en resta y el producto en suma. Después baja cada exponente. El coeficiente no se copia a los términos que no lo tenían. [2](#fuente-log-prop)

Otra da $\log 2$ y $\log 5$ con letras y pide $\log 50$ o $\log 10$. Factoriza el argumento como producto de potencias de 2 y de 5 antes de sustituir las letras. [2](#fuente-log-prop)

También aparecen valores sueltos: logaritmo de 1, logaritmo de la propia base, una potencia exacta y un recíproco escrito como exponente negativo. El cambio de base sale cuando la base no es 10 ni $e$ y hace falta un cociente de logaritmos. [1](#fuente-log-def) [3](#fuente-log-cambio)

## Resumen

- $\log_a x = y$ significa $a^y = x$, con $a > 0$, $a \neq 1$ y $x > 0$.
- $\log_a 1 = 0$, $\log_a a = 1$, y la potencia y el logaritmo de la misma base se cancelan.
- El logaritmo de un producto suma, el de un cociente resta y el de una potencia multiplica.
- Sin base escrita, el logaritmo es de base 10. $\ln$ es de base $e$.
- Cambiar de base divide dos logaritmos de la base nueva: $\log_a M = \frac{\log_b M}{\log_b a}$.

## Practica este concepto

Reactivos como los del examen. Contesta antes de mirar: recordar es lo que fija lo que leíste.

- [Aplicar las propiedades de los logaritmos (5 reactivos)](https://quede.app/materias/matematicas/funciones-exponenciales-logaritmicas/propiedades-logaritmos)

## Dudas comunes

### ¿El logaritmo de una suma es la suma de los logaritmos?

No. La suma de logaritmos corresponde a un producto. El logaritmo de una suma no se parte en dos logaritmos.

### ¿log sin base es lo mismo que ln?

No. Si la base no se escribe, el logaritmo es de base 10. ln es el de base e.

### ¿Se puede tomar el logaritmo de un número negativo o de cero?

No. El argumento tiene que ser positivo. La base es positiva y distinta de 1.

## Sigue con

Conceptos que se apoyan en este.

- [Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Cómo igualar bases en una ecuación exponencial, pasar un logaritmo a potencia y tirar las raíces que dejan el argumento en cero o negativo. 3 min](https://quede.app/aprende/matematicas/ecuaciones-exponenciales-y-logaritmicas)
- [Exponenciales y logaritmos: dominio, rango y asíntotas Dónde vive una exponencial, dónde vive un logaritmo y cómo un desplazamiento mueve la asíntota sin que la curva la cruce. 3 min](https://quede.app/aprende/matematicas/graficas-exponencial-y-logaritmica)
- [Cálculo de pH, pOH, \[H⁺\] y \[OH⁻\] Con el logaritmo pasas de la concentración de hidronio al pH y al revés. A 25 °C el pH y el pOH suman 14,00, y Kw liga los dos iones. 4 min](https://quede.app/aprende/quimica/calculo-de-ph)

## Para saber más

Esta página está escrita desde estas fuentes. Cada número del texto lleva a la suya.

1. Lynn Marecek y Andrea Honeycutt Mathis.  [Intermediate Algebra 2e](https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/10-3-evaluate-and-graph-logarithmic-functions) . OpenStax, Rice University , 2020.
    
    Cap. 10.3, definición del logaritmo y logaritmo común y natural · Licencia CC BY-NC-SA 4.0
2. Lynn Marecek y Andrea Honeycutt Mathis.  [Intermediate Algebra 2e](https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/10-4-use-the-properties-of-logarithms) . OpenStax, Rice University , 2020.
    
    Cap. 10.4, propiedades de producto, cociente y potencia · Licencia CC BY-NC-SA 4.0
3. Lynn Marecek y Andrea Honeycutt Mathis.  [Intermediate Algebra 2e](https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/10-4-use-the-properties-of-logarithms) . OpenStax, Rice University , 2020.
    
    Cap. 10.4, fórmula de cambio de base · Licencia CC BY-NC-SA 4.0

Actualizado el 3 de octubre de 2026.

 

[Índice de Matemáticas](https://quede.app/aprende/matematicas)

---
Quedé (https://quede.app) prepara para el examen de admisión UNAM e IPN.

- Índice para agentes: https://quede.app/llms.txt
- API de datos abierta, sin autenticación: https://quede.app/api/v1/datos (OpenAPI: https://quede.app/openapi.json)
- Skill para agentes: https://quede.app/.well-known/agent-skills/admision-unam-ipn/SKILL.md
- Sitemap: https://quede.app/sitemap.xml