--- title: "Triángulos que no tienen ángulo recto · Quedé" description: "Cuándo una proporción entre ángulo y lado opuesto alcanza, y cuándo el lado que falta pide el coseno del ángulo que queda entre los otros dos." url: "https://quede.app/aprende/matematicas/ley-de-senos-y-cosenos" updated: "2026-10-02" --- # Ley de senos y ley de cosenos Matemáticas [Trigonometría](https://quede.app/materias/matematicas/trigonometria) Sin ángulo recto, el triángulo se llama oblicuo. Si conoces un lado, su ángulo opuesto y otro par así, usas la ley de senos. Si el ángulo conocido está entre dos lados, o si conoces los tres lados, usas la ley de cosenos.[2](#fuente-sen-sas) [3](#fuente-cos-ley) Actualizado el 2 de octubre de 2026 5 min de lectura ## Antes de esto Esta página da por hecho que ya entiendes: - [Resolución de triángulos rectángulos Cómo elegir la razón que une el lado conocido con el que falta, y cómo armar un rectángulo cuando la altura no se puede medir directo. 5 min](https://quede.app/aprende/matematicas/triangulos-rectangulos) ## ¿Qué ley usa un triángulo sin ángulo recto? Un triángulo oblicuo no tiene ángulo recto. Se puede resolver sin bajar una altura que lo parta en dos rectángulos. La ley de los senos iguala razones: la razón entre la medida de un ángulo y la longitud de su lado opuesto es la misma para los otros dos ángulos. Todas esas proporciones son iguales. Para resolver, basta un par de razones que sí puedas armar. El ángulo alfa queda frente al lado a, beta frente a b y gamma frente a c. [1](#fuente-sen-ley) [5](#fuente-sen-etiq) Esa ley no alcanza en dos casos. No ayuda cuando el ángulo conocido está entre dos lados conocidos: lado, ángulo, lado. Tampoco cuando se conocen los tres lados y ningún ángulo. Esos dos casos usan la ley de los cosenos. [2](#fuente-sen-sas) La ley de los cosenos dice que el cuadrado de cualquier lado es la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble del producto de esos dos lados por el coseno del ángulo que queda entre ellos. Para un lado que falta, necesitas el ángulo opuesto a ese lado, que en este enunciado es justo el ángulo incluido entre los otros dos. Si en cambio buscas un ángulo, necesitas el lado opuesto a ese ángulo. [3](#fuente-cos-ley) El camino, cuando tienes dos lados y el ángulo entre ellos, es este. Dibujas el triángulo y marcas lo conocido. Aplicas la ley de cosenos para el lado o el ángulo que falta. Luego puedes usar senos o cosenos para un segundo ángulo. El ángulo que queda se cierra con la suma del triángulo. Los valores exactos se arrastran hasta el final. Si hay que redondear, el libro lo deja en décimas, salvo que pidan otra cosa. [4](#fuente-cos-how) [1](#fuente-sen-ley) Si el triángulo sí tiene ángulo recto, no hace falta ninguna de estas dos leyes. El opuesto, el adyacente y la hipotenusa están en [la resolución del rectángulo](https://quede.app/aprende/matematicas/triangulos-rectangulos). ## Ideas clave - **Etiqueta.** El lado a está frente al ángulo A. Igual con b y c. [5](#fuente-sen-etiq) - **Senos.** La razón entre un ángulo y su lado opuesto se repite en los otros dos. Usas el par que tengas completo. [1](#fuente-sen-ley) - **No es senos.** Lado, ángulo, lado, y también tres lados sin ángulos, no salen con la ley de senos. [2](#fuente-sen-sas) - **Cosenos.** El cuadrado de un lado suma los otros dos cuadrados y resta el doble del producto por el coseno del ángulo incluido. [3](#fuente-cos-ley) - **Orden.** Primero el lado con cosenos. Después otro ángulo. Al final, el que falta. [4](#fuente-cos-how) ## Ejemplos resueltos ### Dos lados y el ángulo entre ellos $a = 2$, $b = 3$ y el ángulo incluido $C$ cumple $\cos C = 1 / 3$. Halla el lado $c$. 1. El ángulo conocido está entre los dos lados. Es el caso que la ley de senos no resuelve. [2](#fuente-sen-sas) 2. El lado que falta es el opuesto a $C$. La ley de cosenos pide ese ángulo. [3](#fuente-cos-ley) 3. $c^2$ es $a^2 + b^2$ menos el doble de $a \cdot b \cdot \cos C$. 4. $c^2 = 4 + 9 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot (1 / 3) = 13 - 4 = 9$. 5. $c = 3$, porque un lado es positivo. El cuadrado 9 no se queda como respuesta si preguntan el lado. ### Tres lados, un ángulo Un triángulo tiene lados $a = 6$, $b = 5$ y $c = 7$. Quieres el ángulo $C$, el opuesto al lado 7. 1. Conoces los tres lados y ningún ángulo. Otra vez no es la ley de senos. [2](#fuente-sen-sas) 2. Para un ángulo hace falta el lado opuesto, y aquí $c = 7$ está frente a $C$. [3](#fuente-cos-ley) 3. Despeja el coseno desde el enunciado. $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ pasa a $2ab \cos C = a^2 + b^2 - c^2$. 4. $2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cos C = 36 + 25 - 49 = 12$. Entonces $60 \cos C = 12$ y $\cos C = 12 / 60 = 1 / 5$. 5. El ángulo $C$ es el que tiene coseno $1 / 5$. La ley llega hasta esa razón. El número de grados, si lo piden, sale de la función inversa, no de esta igualdad sola. ### Cuál ley toca Tienes el lado $a$, el ángulo $A$ opuesto a ese lado, el lado $b$ y el ángulo $B$ opuesto a $b$. Falta el lado que no está en esos datos. 1. Ya hay un lado con su ángulo opuesto, y otro lado con el suyo. [1](#fuente-sen-ley) 2. La ley de senos arma la proporción con ese par. No necesitas el ángulo incluido. [2](#fuente-sen-sas) 3. Etiqueta bien: $a$ frente a $A$, $b$ frente a $B$. Si cruzas las letras, la proporción compara cosas que no se corresponden. [5](#fuente-sen-etiq) 4. La ley de cosenos también existe, pero este dato no es lado, ángulo, lado. Forzar el coseno aquí inventa un ángulo incluido que no te dieron. 5. Llevas el valor exacto de la proporción hasta el último paso. [1](#fuente-sen-ley) ## Errores comunes Usas Pitágoras porque viste tres lados. En el triángulo 6, 5 y 7, $6^2 + 5^2 = 36 + 25 = 61$, y $7^2 = 49$. No son iguales. No hay ángulo recto, así que el cuadrado del lado mayor no es la suma de los otros dos. Le falta el término con el coseno. [3](#fuente-cos-ley) Sumas el producto en lugar de restarlo. La ley resta el doble del producto por el coseno del ángulo incluido. En el primer ejemplo, $4 + 9 + 4$ daría 17, no 9. El signo de esa resta es parte del enunciado. Si el coseno del incluido es negativo, el término $- 2ab \cos C$ se vuelve suma, y el lado opuesto queda más largo. No adelantes ese signo antes de ver el coseno. [3](#fuente-cos-ley) Pones el lado $a$ frente al ángulo $B$. La etiqueta del libro es al revés: cada letra de lado mira a la misma letra de ángulo. Una proporción con las letras cruzadas compara un ángulo con el lado que no tiene enfrente. [5](#fuente-sen-etiq) ## Cómo lo pregunta el examen Si el dibujo marca dos lados y el ángulo que forman, la pregunta es el tercer lado. Es ley de cosenos. El cuadrado de ese lado suma los otros dos cuadrados y resta el doble del producto por el coseno de ese ángulo. Un distractor suma ese término, otro se olvida del coseno y deja solo la suma de cuadrados, como si hubiera recto. Si te dan un lado, el ángulo de enfrente y otro par igual, la proporción de la ley de senos es la herramienta. No cambies a cosenos por costumbre. Y si te dan los tres lados y piden un ángulo, despeja el coseno del ángulo opuesto al lado que te interesa. [2](#fuente-sen-sas) [3](#fuente-cos-ley) ## Resumen - El lado a queda frente al ángulo A. Igual con b y c. - La ley de senos iguala la razón de cada ángulo con su lado opuesto. - No resuelve el ángulo metido entre dos lados, ni tres lados sin ángulos. - La ley de cosenos resta el doble del producto por el coseno del ángulo incluido. - En un oblicuo, Pitágoras no reemplaza esa resta. ## Practica este concepto Reactivos como los del examen. Contesta antes de mirar: recordar es lo que fija lo que leíste. - [Resolver triángulos oblicuángulos con ley de senos o cosenos (4 reactivos)](https://quede.app/materias/matematicas/trigonometria/ley-senos-cosenos) ## Dudas comunes ### ¿La ley de senos sirve si el ángulo está entre los dos lados conocidos? No. Ese caso es lado, ángulo, lado. La ley de senos no lo resuelve. Ahí entra la ley de cosenos. ### ¿Puedo usar Pitágoras en cualquier triángulo? No. Pitágoras pide el ángulo recto. En un oblicuo, el cuadrado de un lado resta un término con el coseno del ángulo incluido. ### ¿El lado a puede quedar frente al ángulo B? No en la etiqueta estándar. El lado a queda frente al ángulo A, el b frente a B y el c frente a C. ## Para saber más Esta página está escrita desde estas fuentes. Cada número del texto lleva a la suya. 1. Jay Abramson. [Precálculo 2ed](https://openstax.org/books/precalculus/pages/8-1-non-right-triangles-law-of-sines) . OpenStax, Rice University , 2022. Cap. 8.1, ley de los senos 2. Jay Abramson. [Algebra and Trigonometry 2e](https://openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/10-2-non-right-triangles-law-of-cosines) . OpenStax, Rice University , 2021. Cap. 10.2, cuándo no basta la ley de senos 3. Jay Abramson. [Algebra and Trigonometry 2e](https://openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/10-2-non-right-triangles-law-of-cosines) . OpenStax, Rice University , 2021. Cap. 10.2, enunciado de la ley de cosenos 4. Jay Abramson. [Algebra and Trigonometry 2e](https://openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/10-2-non-right-triangles-law-of-cosines) . OpenStax, Rice University , 2021. Cap. 10.2, pasos con dos lados y el ángulo entre ellos 5. Jay Abramson. [Precálculo 2ed](https://openstax.org/books/precalculus/pages/8-1-non-right-triangles-law-of-sines) . OpenStax, Rice University , 2022. Cap. 8.1, lado opuesto a su ángulo Actualizado el 2 de octubre de 2026. [Índice de Matemáticas](https://quede.app/aprende/matematicas) --- Quedé (https://quede.app) prepara para el examen de admisión UNAM e IPN. - Índice para agentes: https://quede.app/llms.txt - API de datos abierta, sin autenticación: https://quede.app/api/v1/datos (OpenAPI: https://quede.app/openapi.json) - Skill para agentes: https://quede.app/.well-known/agent-skills/admision-unam-ipn/SKILL.md - Sitemap: https://quede.app/sitemap.xml