--- title: "Integrales inmediatas y la constante · Quedé" description: "La integral indefinida reúne las antiderivadas de f: una fórmula F más cualquier constante. Se comprueba derivando el resultado." url: "https://quede.app/aprende/matematicas/integrales-inmediatas" updated: "2026-10-03" --- # Integrales inmediatas Matemáticas [La integral](https://quede.app/materias/matematicas/integral) Si F cumple F prima igual a f en todo el dominio, F es una antiderivada de f. La integral indefinida no es una sola fórmula: es toda la familia F más una constante.[1](#fuente-inm-fam) Actualizado el 3 de octubre de 2026 4 min de lectura ## Antes de esto Esta página da por hecho que ya entiendes: - [Reglas de derivación Constante, potencia, suma, resta, múltiplo, producto y cociente permiten derivar polinomios y cocientes sin armar el límite cada vez. 3 min](https://quede.app/aprende/matematicas/reglas-de-derivacion) ## ¿Qué funciones tienen la misma derivada? Derivar baja de una función a su pendiente. Integrar recorre el camino de regreso: dada $f$, buscas $F$ tal que $F'(x) = f(x)$ en el dominio de $f$. Esa $F$ se llama antiderivada de $f$. [1](#fuente-inm-fam) La constante estorba menos de lo que parece. La derivada de cualquier constante es 0, así que si $F'(x) = f(x)$, también $(F(x) + C)' = f(x)$ para cada número $C$. No hay más familias escondidas: si $F$ y $G$ son antiderivadas de la misma $f$ en un intervalo, existe una constante con $G(x) = F(x) + C$ en ese intervalo. La forma más general es $F(x) + C$. [1](#fuente-inm-fam) Por eso $6x$ tiene antiderivada $3x^{2}$, y también $3x^{2} + 5$ y $3x^{2} - 4$. Las gráficas son la misma parábola subida o bajada. Derivar cualquiera de ellas devuelve $6x$. La notación de esa familia es la integral indefinida. Si $F$ es una antiderivada de $f$, $$\int f(x) \, dx = F(x) + C.$$ El signo $\int$ es el signo integral. $f(x)$ es el integrando y $x$ es la variable de integración. Hallar antiderivadas se llama integrar. La integral indefinida no es un número: es la familia completa. [1](#fuente-inm-fam) ## Ideas clave - $F$ es antiderivada de $f$ cuando $F'(x) = f(x)$ en el dominio de $f$. [1](#fuente-inm-fam) - En un intervalo, las antiderivadas son $F(x) + C$. La constante no se ve al derivar. [1](#fuente-inm-fam) - Si $n \neq -1$, $\int x^{n} \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Sale de derivar esa potencia. [1](#fuente-inm-fam) - $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$ y $\int e^{x} \, dx = e^{x} + C$. [1](#fuente-inm-fam) - Seno, coseno y las potencias de secante y cosecante de la tabla se integran de un golpe. El producto de dos antiderivadas no integra un producto. [1](#fuente-inm-fam) - Un dato $y(x_0) = y_0$ elige una sola curva de la familia. [1](#fuente-inm-fam) La regla de la potencia para integrales pide $n \neq -1$: $$\int x^{n} \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.$$ Sirve para enteros y para racionales distintos de $-1$, porque $\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right) = x^{n}$. El hueco $n = -1$ es otra fórmula: $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$. El valor absoluto importa: el logaritmo natural, como función real de preparatoria, se define en positivos, y $1/x$ también vive en los negativos. [1](#fuente-inm-fam) La tabla corta que se usa una y otra vez es esta. [1](#fuente-inm-fam) $$\int k \, dx = kx + C, \quad \int \cos x \, dx = \sin x + C, \quad \int \sin x \, dx = -\cos x + C.$$ $$\int e^{x} \, dx = e^{x} + C, \quad \int \sec^{2} x \, dx = \tan x + C, \quad \int \csc^{2} x \, dx = -\cot x + C.$$ $$\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C, \quad \int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C.$$ $$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \, dx = \sin^{-1} x + C, \quad \int \frac{1}{1+x^{2}} \, dx = \tan^{-1} x + C.$$ $$\int \frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}} \, dx = \sec^{-1}|x| + C.$$ Compruebas una respuesta derivándola. La candidata es correcta exactamente cuando su derivada es el integrando. [1](#fuente-inm-fam) Suma, resta y múltiplo constante sí pasan adentro del signo. Si $F$ y $G$ son antiderivadas de $f$ y $g$, y $k$ es real, $$\int (f \pm g) \, dx = F \pm G + C, \quad \int k f \, dx = k F + C.$$ Productos, cocientes y composiciones no se parten así. Integrar $x e^{x}$ no es multiplicar una antiderivada de $x$ por una de $e^{x}$. [1](#fuente-inm-fam) Si te dan $\frac{dy}{dx} = f(x)$ y un punto $y(x_0) = y_0$, eso es un problema de valor inicial. Primero escribes la familia y después el punto despeja $C$. [1](#fuente-inm-fam) ## Ejemplos resueltos ### Un polinomio y una raíz cúbica Calcula $\int (3x^{2} - 8x + 6) \, dx$ y $\int x^{1/3} \, dx$. 1. Cada término usa la potencia o la constante. $3x^{2}$ sube a $x^{3}$, $-8x$ sube a $-4x^{2}$ y $6$ sube a $6x$. [1](#fuente-inm-fam) 2. $\int (3x^{2} - 8x + 6) \, dx = x^{3} - 4x^{2} + 6x + C$. 3. El exponente $\frac{1}{3}$ no es $-1$. Sube a $\frac{4}{3}$ y divides entre $\frac{4}{3}$, que es multiplicar por $\frac{3}{4}$. 4. $\int x^{1/3} \, dx = \frac{3}{4} x^{4/3} + C$. Derivar devuelve $\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} x^{1/3} = x^{1/3}$. ### Logaritmo, exponencial y una comprobación Calcula $\int \left(3x^{-1} + e^{x} + \cos x\right) \, dx$. 1. $3/x$ es el caso excluido de la potencia: $3\ln|x|$. [1](#fuente-inm-fam) 2. La exponencial se queda: $\int e^{x} \, dx = e^{x} + C$. El coseno pasa a seno. 3. Juntas una sola constante: $3\ln|x| + e^{x} + \sin x + C$. 4. La derivada es $\frac{3}{x} + e^{x} + \cos x$. Coincide con el integrando. Si hubieras escrito $x e^{x}$ como producto de antiderivadas, derivar con la regla del producto no regresaría $x e^{x}$. ### La condición inicial elige C Resuelve $\frac{dy}{dx} = 6x + 2$ con $y(1) = 4$. 1. La familia es $y = 3x^{2} + 2x + C$. [1](#fuente-inm-fam) 2. Sustituye el punto: $3(1)^{2} + 2(1) + C = 4$, o sea $5 + C = 4$. 3. $C = -1$. La solución es $y = 3x^{2} + 2x - 1$. 4. Sin el punto, cualquier $C$ valdría. El dato corta la familia a una curva. ## Errores comunes Olvidar $+C$ en una integral indefinida. Derivando no se nota, pero la respuesta deja fuera al resto de la familia. En una definida la constante se cancela; aquí no hay extremos que la borren. [1](#fuente-inm-fam) Usar $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ cuando $n = -1$. El denominador sería 0. Ese renglón de la tabla es $\ln|x|$, con valor absoluto. [1](#fuente-inm-fam) Integrar un producto multiplicando antiderivadas. La linealidad cubre sumas y múltiplos, no productos ni composiciones. [1](#fuente-inm-fam) Quitar el valor absoluto de $\ln|x|$ y dejar $\ln x$ cuando el intervalo incluye negativos. En $x > 0$ coinciden; en $x < 0$, $\ln x$ no está definida en los reales de esta tabla. [1](#fuente-inm-fam) ## Cómo lo pregunta el examen Piden la integral indefinida de un polinomio, de $\frac{k}{x}$, de una raíz escrita como potencia, o de una mezcla corta de seno, coseno y exponencial. También dan $\frac{dy}{dx}$ y un punto, y preguntan la función, no la familia. El orden que evita el tropiezo es: reconoce cada fórmula de la tabla, sube el exponente solo si no es $-1$, escribe $+C$, y al final usa el punto si lo hay. Derivar la respuesta es la comprobación, y cabe hacerla antes de marcar. ## Resumen - Integrar busca $F$ con $F' = f$. La respuesta general en un intervalo es $F + C$. [1](#fuente-inm-fam) - La potencia sube el exponente y divide, salvo cuando el exponente es $-1$. [1](#fuente-inm-fam) - $\frac{1}{x}$ da $\ln|x|$, $e^{x}$ se queda, y seno y coseno se intercambian con un signo. [1](#fuente-inm-fam) - Suma y múltiplo constante entran al signo. Un producto no se integra multiplicando antiderivadas. [1](#fuente-inm-fam) - La condición inicial despeja $C$. Sin ese dato, la constante se queda escrita. [1](#fuente-inm-fam) ## Practica este concepto Reactivos como los del examen. Contesta antes de mirar: recordar es lo que fija lo que leíste. - [Resolver integrales inmediatas (4 reactivos)](https://quede.app/materias/matematicas/integral/integrales-inmediatas) ## Dudas comunes ### ¿Por qué aparece +C? La derivada de una constante es 0. Si F es antiderivada, F más cualquier constante también lo es, y dos antiderivadas en un intervalo difieren solo en una constante. ### ¿La potencia sirve cuando el exponente es -1? No. La fórmula x elevado a n+1, partido por n+1, pide n distinto de -1. El caso 1/x es el logaritmo natural del valor absoluto. ### ¿La antiderivada de un producto es el producto de las antiderivadas? No. Suma, resta y múltiplo constante sí se integran pieza por pieza. Un producto o un cociente pide otro método. ### ¿Cómo se fija la constante? Con un dato y(x0) = y0. Integras la familia y sustituyes ese punto para despejar C. ## Sigue con Conceptos que se apoyan en este. - [Integral definida y área bajo la curva La integral de a a b es un número: el límite de las sumas de Riemann. Si f es continua, una antiderivada evaluada en los extremos la calcula. 5 min](https://quede.app/aprende/matematicas/integral-definida) - [Integración por sustitución Si el integrando es una composición por la derivada de adentro, u = g(x) lo vuelve una integral de la tabla. En la definida, los extremos pasan a u. 3 min](https://quede.app/aprende/matematicas/integracion-por-sustitucion) - [Integración por partes No hay regla del producto para integrar. Partes cambia la integral de u dv por el producto uv menos la integral de v du. 3 min](https://quede.app/aprende/matematicas/integracion-por-partes) - [Integración por fracciones parciales Una racional propia se separa según los factores del denominador. Cada lineal o cada cuadrático irreducible se integra con logaritmo o arco tangente. 3 min](https://quede.app/aprende/matematicas/fracciones-parciales) ## Para saber más Esta página está escrita desde estas fuentes. Cada número del texto lleva a la suya. 1. Gilbert Strang y Edwin "Jed" Herman. [Cálculo volumen 1](https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-1/pages/4-10-antiderivadas) . OpenStax, Rice University , 2022. Sección 4.10, antiderivadas e integrales inmediatas · Licencia CC BY-NC-SA 4.0 Actualizado el 3 de octubre de 2026. [Índice de Matemáticas](https://quede.app/aprende/matematicas) --- Quedé (https://quede.app) prepara para el examen de admisión UNAM e IPN. - Índice para agentes: https://quede.app/llms.txt - API de datos abierta, sin autenticación: https://quede.app/api/v1/datos (OpenAPI: https://quede.app/openapi.json) - Skill para agentes: https://quede.app/.well-known/agent-skills/admision-unam-ipn/SKILL.md - Sitemap: https://quede.app/sitemap.xml