--- title: "Integrar por sustitución o cambio de variable · Quedé" description: "Si el integrando es una composición por la derivada de adentro, u = g(x) lo vuelve una integral de la tabla. En la definida, los extremos pasan a u." url: "https://quede.app/aprende/matematicas/integracion-por-sustitucion" updated: "2026-10-03" --- # Integración por sustitución Matemáticas [La integral](https://quede.app/materias/matematicas/integral) La sustitución, o cambio de variable, integra un producto de la forma f(g(x)) por g'(x). Eliges u = g(x), escribes du y regresas a x al terminar.[1](#fuente-sus-ind) Actualizado el 3 de octubre de 2026 3 min de lectura ## Antes de esto Esta página da por hecho que ya entiendes: - [Integrales inmediatas La integral indefinida reúne las antiderivadas de f: una fórmula F más cualquier constante. Se comprueba derivando el resultado. 4 min](https://quede.app/aprende/matematicas/integrales-inmediatas) - [Regla de la cadena La derivada de una composición es la derivada de la función de afuera, evaluada en la de adentro, por la derivada de adentro. 3 min](https://quede.app/aprende/matematicas/regla-de-la-cadena) ## ¿Cuándo el integrando es una cadena al revés? La [tabla de antiderivadas](https://quede.app/aprende/matematicas/integrales-inmediatas) cubre potencias, seno y exponencial sueltos. No cubre, de un vistazo, $(2x^{2} - 1)^{5}$ multiplicado por $4x$. Esa pieza es la derivada de una composición: afuera una potencia, adentro $2x^{2} - 1$, y al lado la derivada de adentro. La sustitución deshace esa cadena. [1](#fuente-sus-ind) El enunciado es este. Sea $u = g(x)$, con $g'$ continua en un intervalo, sea $f$ continua en el recorrido de $g$, y sea $F$ una antiderivada de $f$. Entonces [1](#fuente-sus-ind) $$\int f(g(x)) \, g'(x) \, dx = \int f(u) \, du = F(u) + C = F(g(x)) + C.$$ Se ve en la derivada de la composición: $\frac{d}{dx} F(g(x)) = f(g(x)) \, g'(x)$. Integrar los dos lados devuelve la fórmula. [1](#fuente-sus-ind) ## Ideas clave - Buscas $g(x)$ adentro del integrando de modo que $g'(x)$, salvo constante, también esté. [1](#fuente-sus-ind) - Sustituyes $u = g(x)$ y $du = g'(x) \, dx$. Al terminar, la integral debe quedar solo en $u$. [1](#fuente-sus-ind) - Integras con la tabla y escribes el resultado con $g(x)$ otra vez. [1](#fuente-sus-ind) - Si el factor numérico de $du$ no coincide, lo despejas. Una constante puede salir del signo. [1](#fuente-sus-ind) - En una definida, $\int_a^b f(g(x)) g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du$. Los extremos cambian con $g$. [1](#fuente-sus-ind) - Puedes regresar a $x$ y evaluar en $a$ y $b$, sin cambiar límites. No mezcles extremos de $x$ con una integral escrita en $u$. [1](#fuente-sus-ind) El camino práctico tiene cinco pasos. Miras el integrando y eliges $g(x)$. Escribes $u$ y $du$. La integral tiene que poder hacerse en $u$. Si no, pruebas otra elección. Integras. Vuelves a la variable original. [1](#fuente-sus-ind) A veces $du$ trae un coeficiente de más. Si $du = 2x \, dx$ y en el integrando solo está $x \, dx$, multiplicas la igualdad por $\frac{1}{2}$ y ese $\frac{1}{2}$ queda fuera de la integral. Lo que no puedes dejar es una $x$ suelta al lado de $u$. Si sobra la variable vieja, la despejas de $u = g(x)$ y la sustituyes también. [1](#fuente-sus-ind) En una integral definida el cambio arrastra los extremos. Si $u = g(x)$ y $g'$ es continua en $[a, b]$, y $f$ es continua en el recorrido de $g$, [1](#fuente-sus-ind) $$\int_a^b f(g(x)) \, g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du.$$ La cuenta que lo justifica: una antiderivada en $x$ es $F(g(x))$, y $F(g(b)) - F(g(a))$ es la misma resta con los extremos ya medidos en $u$. [1](#fuente-sus-ind) ## Ejemplos resueltos ### La derivada de adentro ya está Calcula $\int 4x (2x^{2} - 1)^{5} \, dx$. 1. Elige $u = 2x^{2} - 1$. Entonces $du = 4x \, dx$, que es justo el factor que acompaña a la potencia. [1](#fuente-sus-ind) 2. La integral pasa a $\int u^{5} \, du = \frac{u^{6}}{6} + C$. 3. Regresa: $\frac{(2x^{2} - 1)^{6}}{6} + C$. 4. Al derivar, la cadena baja el $6$, deja $(2x^{2} - 1)^{5}$ y multiplica por $4x$. El $6$ del denominador se cancela. Vuelve el integrando. ### Falta un coeficiente Calcula $\int x \sqrt{x^{2} + 4} \, dx$. 1. $u = x^{2} + 4$ da $du = 2x \, dx$. El integrando tiene $x \, dx$, así que $\frac{1}{2} du = x \, dx$. [1](#fuente-sus-ind) 2. $\frac{1}{2} \int u^{1/2} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{3} u^{3/2} + C$. 3. En $x$: $\frac{1}{3} (x^{2} + 4)^{3/2} + C$. 4. Olvidar el $\frac{1}{2}$ duplicaría la respuesta. Derivarla lo delata: saldría $2x \sqrt{x^{2} + 4}$ en lugar de $x \sqrt{x^{2} + 4}$. ### Extremos nuevos en una definida Evalúa $\int_0^2 x (x^{2} + 1)^{3} \, dx$. 1. $u = x^{2} + 1$, $du = 2x \, dx$, y $\frac{1}{2} du = x \, dx$. [1](#fuente-sus-ind) 2. Cuando $x = 0$, $u = 1$. Cuando $x = 2$, $u = 5$. No dejes escritos el $0$ y el $2$ al lado de $u$. 3. $\frac{1}{2} \int_1^5 u^{3} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{4}}{4} \big|_1^5 = \frac{1}{8} (625 - 1) = 78$. 4. Si regresas a $x$ antes de evaluar, $\frac{(x^{2} + 1)^{4}}{8}$ de $0$ a $2$ da $\frac{625}{8} - \frac{1}{8} = 78$. Misma cifra, otros extremos. ## Errores comunes Elegir $u$ y no sustituir el $dx$. Sin $du$, la integral queda con dos variables. El paso no termina hasta que solo se ve $u$. [1](#fuente-sus-ind) Dejar el factor $2$ o $\frac{1}{2}$ fuera de la cuenta. Ese número es parte de $du$, no un adorno. [1](#fuente-sus-ind) En una definida, cambiar el integrando a $u$ y seguir evaluando en $x = a$ y $x = b$. Esos números no son valores de $u$. O mueves los extremos con $g$, o vuelves a $x$ antes de restar. [1](#fuente-sus-ind) Forzar la sustitución cuando no hay una derivada interna. $x^{2} + 1$ sin una $x$ al lado no es una cadena de este teorema. Ahí la potencia de la tabla, o más adelante otro método, hace el trabajo. [1](#fuente-sus-ind) ## Cómo lo pregunta el examen El integrando trae una potencia, una raíz o un seno de un polinomio corto, y al lado aparece, salvo un número, la derivada de ese polinomio. Te piden la indefinida, o el número entre dos extremos. También hay reactivos que solo preguntan cuál sustitución conviene, sin pedirte el resultado. Marca la $u$ cuya diferencial ya está escrita, ajusta la constante, y en la definida decide de antemano si vas a mover los extremos. ## Resumen - La sustitución integra $f(g(x)) g'(x)$ cambiando a $\int f(u) \, du$. [1](#fuente-sus-ind) - $u$ se elige para que $du$, salvo constante, ya esté en el integrando. [1](#fuente-sus-ind) - Un coeficiente se despeja y sale de la integral. La variable vieja no puede quedar mezclada. [1](#fuente-sus-ind) - Al terminar se escribe otra vez $g(x)$, más $C$ si la integral es indefinida. [1](#fuente-sus-ind) - En la definida, los extremos pasan a $g(a)$ y $g(b)$, o se regresa a $x$ antes de evaluar. [1](#fuente-sus-ind) ## Practica este concepto Reactivos como los del examen. Contesta antes de mirar: recordar es lo que fija lo que leíste. - [Integrar por sustitución (4 reactivos)](https://quede.app/materias/matematicas/integral/integracion-sustitucion) ## Dudas comunes ### ¿Qué expresión conviene llamar u? Una pieza g(x) cuya derivada, salvo un número, ya está en el integrando. Si al cambiar no queda solo u, se prueba con otra pieza. ### ¿Qué hago si du trae un 2 y el integrando no? Despejas ese factor. Multiplicar du por un medio es legítimo porque es una constante, y la constante sale de la integral. ### ¿En una definida dejo los extremos de x? No, si integras en u. Cuando x = a, el extremo nuevo es u = g(a). Cuando x = b, es u = g(b). ### ¿Puedo volver a x y usar los extremos viejos? Sí. O cambias los límites y no regresas, o regresas a x y evalúas en a y b. Las dos rutas dan el mismo número. ## Sigue con Conceptos que se apoyan en este. - [Sustitución trigonométrica Raíz de a al cuadrado menos x al cuadrado pide x = a sen θ. La suma de cuadrados pide tangente, y x al cuadrado menos a al cuadrado pide secante. 3 min](https://quede.app/aprende/matematicas/sustitucion-trigonometrica) ## Para saber más Esta página está escrita desde estas fuentes. Cada número del texto lleva a la suya. 1. Gilbert Strang y Edwin "Jed" Herman. [Cálculo volumen 1](https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-1/pages/5-5-sustitucion) . OpenStax, Rice University , 2022. Sección 5.5, sustitución en indefinidas y definidas · Licencia CC BY-NC-SA 4.0 Actualizado el 3 de octubre de 2026. [Índice de Matemáticas](https://quede.app/aprende/matematicas) --- Quedé (https://quede.app) prepara para el examen de admisión UNAM e IPN. - Índice para agentes: https://quede.app/llms.txt - API de datos abierta, sin autenticación: https://quede.app/api/v1/datos (OpenAPI: https://quede.app/openapi.json) - Skill para agentes: https://quede.app/.well-known/agent-skills/admision-unam-ipn/SKILL.md - Sitemap: https://quede.app/sitemap.xml