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title: "Integrar por partes un producto · Quedé"
description: "No hay regla del producto para integrar. Partes cambia la integral de u dv por el producto uv menos la integral de v du."
url: "https://quede.app/aprende/matematicas/integracion-por-partes"
updated: "2026-10-03"
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# Integración por partes

Matemáticas [La integral](https://quede.app/materias/matematicas/integral)

Integrar un producto no se hace multiplicando integrales. La fórmula de partes sale de la regla del producto y dice que la integral de u dv es uv menos la integral de v du.[1](#fuente-par-for)

Actualizado el 3 de octubre de 2026 3 min de lectura

## Antes de esto

Esta página da por hecho que ya entiendes:

- [Integrales inmediatas La integral indefinida reúne las antiderivadas de f: una fórmula F más cualquier constante. Se comprueba derivando el resultado. 4 min](https://quede.app/aprende/matematicas/integrales-inmediatas)

## ¿Cómo se integra un producto que no es una cadena?

La [sustitución](https://quede.app/aprende/matematicas/integracion-por-sustitucion) pide que una pieza sea la derivada de la otra. En $\int x \sin(2x) \, dx$ derivar $2x$ da $2$, no $x$. No hay una regla que diga "integral de un producto es producto de integrales". Lo que sí hay es un reacomodo de la regla del producto. [1](#fuente-par-for)

Si $h = f g$, entonces $h' = f' g + g' f$. Integrar los dos lados y despejar deja

$$\int f(x) \, g'(x) \, dx = f(x) g(x) - \int g(x) \, f'(x) \, dx.$$

Con $u = f(x)$ y $v = g(x)$, de modo que $du = f'(x) \, dx$ y $dv = g'(x) \, dx$, la forma corta es [1](#fuente-par-for)

$$\int u \, dv = uv - \int v \, du.$$

Hace falta que $u$ y $v$ tengan derivadas continuas. La ganancia es cambiar una integral por otra que sí esté en la [tabla de antiderivadas](https://quede.app/aprende/matematicas/integrales-inmediatas). [1](#fuente-par-for)

## Ideas clave

- No existe una regla del producto para integrales. Partes intercambia una integral por otra. [1](#fuente-par-for)
- $\int u \, dv = uv - \int v \, du$, con $du$ y $dv$ leídos de esas elecciones. [1](#fuente-par-for)
- $dv$ tiene que ser algo que sepas integrar. Si no sale $v$, la elección no sirve. [1](#fuente-par-for)
- Conviene que $u$ se simplifique al derivar: una potencia baja de grado, un logaritmo pasa a $1/x$. [1](#fuente-par-for)
- La constante al integrar $dv$ se cancela. Puedes tomarla igual a 0. [1](#fuente-par-for)
- En $[a, b]$, $\int_a^b u \, dv = uv \big|_a^b - \int_a^b v \, du$, si las derivadas son continuas en el cerrado. [1](#fuente-par-for)

Una guía útil, no un teorema, es el orden logaritmo, inverso trigonométrico, algebraica, trigonométrica, exponencial. La que aparezca antes en esa lista suele ser buena $u$, porque logaritmo e inverso no tienen una integral inmediata cómoda y por eso no conviene dejarlos en $dv$. Entre seno y exponencial el orden importa poco: las dos se integran fácil. Si la elección deja una integral más pesada, se prueba el otro reparto. [1](#fuente-par-for)

A veces partes se aplica dos veces, porque el polinomio baja un grado en cada vuelta y la exponencial o el seno se quedan. La segunda vuelta usa la misma fórmula, no un atajo distinto. [1](#fuente-par-for)

## Ejemplos resueltos

### Un polinomio por un seno

Calcula $\int x \sin(2x) \, dx$.

1. $u = x$ se deriva a $du = dx$. $dv = \sin(2x) \, dx$ se integra a $v = -\frac{1}{2} \cos(2x)$. [1](#fuente-par-for)
2. $uv - \int v \, du = -\frac{x}{2} \cos(2x) - \int \left(-\frac{1}{2} \cos(2x)\right) dx$.
3. La que queda es inmediata: $\int \frac{1}{2} \cos(2x) \, dx = \frac{1}{4} \sin(2x)$.
4. $\int x \sin(2x) \, dx = -\frac{x}{2} \cos(2x) + \frac{1}{4} \sin(2x) + C$. Al derivar, el producto devuelve $x \sin(2x)$ y los otros términos se cancelan.

### La elección al revés empeora

En la misma integral, prueba $u = \sin(2x)$ y $dv = x \, dx$.

1. Entonces $du = 2\cos(2x) \, dx$ y $v = \frac{x^{2}}{2}$. [1](#fuente-par-for)
2. La fórmula escribe $\frac{x^{2}}{2} \sin(2x) - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot 2\cos(2x) \, dx$, o sea $\frac{x^{2}}{2} \sin(2x) - \int x^{2} \cos(2x) \, dx$.
3. El grado de $x$ subió. La integral nueva es más difícil que la original.
4. Por eso $u$ se lleva el factor algebraico cuando el otro factor es seno o coseno: derivar $x$ lo aplana, e integrar el seno es directo.

### Partes en un intervalo

Evalúa $\int_0^{\pi/2} x \cos(2x) \, dx$.

1. $u = x$, $dv = \cos(2x) \, dx$, $du = dx$, $v = \frac{1}{2} \sin(2x)$. [1](#fuente-par-for)
2. $uv \big|_0^{\pi/2} = \frac{x}{2} \sin(2x) \big|_0^{\pi/2}$. En $\frac{\pi}{2}$ el seno de $\pi$ es $0$. En $0$ también. El borde vale $0$.
3. Resta $\int_0^{\pi/2} \frac{1}{2} \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{4} \cos(2x) \big|_0^{\pi/2} = -\frac{1}{4}(-1) - \left(-\frac{1}{4}(1)\right) = \frac{1}{2}$.
4. La integral pedida es $0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$. El signo negativo cabe: en parte del intervalo el coseno de $2x$ es negativo y $x$ es positivo.

## Errores comunes

Repartir $u$ y $dv$ de modo que $dv$ no se pueda integrar. Sin $v$, la fórmula no arranca. [1](#fuente-par-for)

Olvidar el signo de en medio. Es $uv$ menos la integral de $v \, du$, no más. Un signo volteado falla al derivar. [1](#fuente-par-for)

Integrar $dv$ y derivar $u$, y después integrar otra vez $u$ por costumbre. En el segundo término se integra $v$ respecto de la diferencial nueva, que es $du$. [1](#fuente-par-for)

En la definida, evaluar $uv$ solo en el extremo de arriba. La barra resta el valor de abajo, aunque ese valor sea $0$ y la resta no se note. [1](#fuente-par-for)

## Cómo lo pregunta el examen

El producto típico junta un polinomio de grado 1 con seno, coseno o exponencial, o un logaritmo con una potencia. A veces preguntan solo qué factor debe ser $u$. Elige el que se simplifica al derivar, integra $dv$, escribe $uv$ y deja planteada la integral nueva antes de hacerla. Si el enunciado ya trae límites, evalúa $uv$ en los dos extremos y no dejes la segunda integral indefinida.

## Resumen

- Partes reescribe $\int u \, dv$ como $uv - \int v \, du$. [1](#fuente-par-for)
- $u$ se deriva y $dv$ se integra. $dv$ tiene que tener antiderivada conocida. [1](#fuente-par-for)
- Si la integral nueva sube de dificultad, se cambian $u$ y $dv$. [1](#fuente-par-for)
- La constante de $v$ no altera el resultado. [1](#fuente-par-for)
- Con extremos, $uv$ se evalúa de $a$ a $b$ y la integral que resta también lleva esos extremos. [1](#fuente-par-for)

## Practica este concepto

Reactivos como los del examen. Contesta antes de mirar: recordar es lo que fija lo que leíste.

- [Integrar por partes (4 reactivos)](https://quede.app/materias/matematicas/integral/integracion-por-partes)

## Dudas comunes

### ¿Cómo elijo u y dv?

u es la parte que se simplifica al derivar, y dv es el resto, que tiene que poder integrarse. Si la nueva integral queda peor, se cambian los papeles.

### ¿La constante de v hay que escribirla?

No cambia el resultado. Al integrar dv se puede tomar la antiderivada sin constante. Esa constante se cancela.

### ¿Partes sirve en una integral definida?

Sí. La misma identidad, con uv evaluado de a a b, menos la integral definida de v du.

### ¿Cuándo intento sustitución en lugar de partes?

Si una pieza es, salvo constante, la derivada de la otra. Un factor x junto a sen(2x) no es eso: la derivada de 2x es 2, no x.

## Se entiende mejor junto con

- [Integración por sustitución Si el integrando es una composición por la derivada de adentro, u = g(x) lo vuelve una integral de la tabla. En la definida, los extremos pasan a u. 3 min](https://quede.app/aprende/matematicas/integracion-por-sustitucion)

## Para saber más

Esta página está escrita desde estas fuentes. Cada número del texto lleva a la suya.

1. Gilbert Strang y Edwin "Jed" Herman.  [Cálculo volumen 2](https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-2/pages/3-1-integracion-por-partes) . OpenStax, Rice University , 2022.
    
    Sección 3.1, integración por partes · Licencia CC BY-NC-SA 4.0

Actualizado el 3 de octubre de 2026.

 

[Índice de Matemáticas](https://quede.app/aprende/matematicas)

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