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title: "Fracciones parciales al integrar · Quedé"
description: "Una racional propia se separa según los factores del denominador. Cada lineal o cada cuadrático irreducible se integra con logaritmo o arco tangente."
url: "https://quede.app/aprende/matematicas/fracciones-parciales"
updated: "2026-10-03"
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# Integración por fracciones parciales

Matemáticas [La integral](https://quede.app/materias/matematicas/integral)

Si una fracción de polinomios no está en la tabla, se descompone en sumandos con denominadores más chicos. El tipo de cada factor dice qué numerador poner.[1](#fuente-fra-lin)

Actualizado el 3 de octubre de 2026 3 min de lectura

## Antes de esto

Esta página da por hecho que ya entiendes:

- [Integrales inmediatas La integral indefinida reúne las antiderivadas de f: una fórmula F más cualquier constante. Se comprueba derivando el resultado. 4 min](https://quede.app/aprende/matematicas/integrales-inmediatas)
- [Fracciones algebraicas Cómo simplificar, multiplicar, dividir y restar fracciones de polinomios, cancelando factores comunes y no términos sueltos. 4 min](https://quede.app/aprende/matematicas/fracciones-algebraicas)

## ¿Cómo se parte una racional antes de integrar?

Una [fracción de polinomios](https://quede.app/aprende/matematicas/fracciones-algebraicas) a veces se integra de un golpe, como $\int \frac{1}{x} \, dx$. Cuando el denominador es un producto, conviene escribir la fracción como suma de piezas con un solo factor. Integrar esa suma usa la [tabla de antiderivadas](https://quede.app/aprende/matematicas/integrales-inmediatas): logaritmo en cada lineal y arco tangente si queda $x^{2} + a^{2}$. [1](#fuente-fra-lin)

La descomposición pide grado del numerador menor que el del denominador. Si no, primero se divide. El cociente queda como polinomio $A(x)$ y el resto $R(x)/Q(x)$ ya cumple la condición de grados. Solo ese resto se parte. [1](#fuente-fra-lin)

## Ideas clave

- Si el grado de arriba no es menor, divide. El cociente se integra aparte y el resto se descompone. [1](#fuente-fra-lin)
- Factores lineales distintos: $\frac{P}{(a_1 x+b_1)\cdots(a_n x+b_n)} = \sum \frac{A_i}{a_i x + b_i}$. [1](#fuente-fra-lin)
- Un lineal repetido $(ax+b)^{n}$ pide $\frac{A_1}{ax+b} + \cdots + \frac{A_n}{(ax+b)^{n}}$. [1](#fuente-fra-lin)
- Un cuadrático irreducible $ax^{2}+bx+c$, el que no tiene raíces reales, pide numerador $Ax+B$. Si se repite a la $n$, hay un numerador lineal por cada potencia. [1](#fuente-fra-lin)
- Los coeficientes salen igualando numeradores, por sistema o sustituyendo las raíces de los factores. [1](#fuente-fra-lin)
- Cada lineal integra a un logaritmo del valor absoluto. $\int \frac{1}{x^{2}+1} \, dx = \tan^{-1} x + C$, y $\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{u}{a}\right) + C$. [1](#fuente-fra-lin)

El camino es fijo. Mira los grados y divide si hace falta. Factoriza el denominador en lineales y cuadráticos sin raíces reales, los de discriminante negativo. Escribe la forma según esos factores. Iguala numeradores. Resuelve las constantes. Integra término a término. Si el sistema sale inconsistente, la forma estaba mal planteada. [1](#fuente-fra-lin)

Sustituir una raíz del denominador anula factores y despeja una constante de inmediato. Conviene, y al final se suma de nuevo para ver que el numerador original regresa. [1](#fuente-fra-lin)

## Ejemplos resueltos

### Dos lineales distintos

Calcula $\int \frac{2x+5}{(x-1)(x+4)} \, dx$.

1. Los grados ya cumplen $1 < 2$. La forma es $\frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+4}$. [1](#fuente-fra-lin)
2. $2x+5 = A(x+4) + B(x-1)$. Con $x = 1$, $7 = 5A$ y $A = \frac{7}{5}$. Con $x = -4$, $-3 = -5B$ y $B = \frac{3}{5}$.
3. Suma de comprobación: $\frac{7}{5}(x+4) + \frac{3}{5}(x-1) = \frac{10x+25}{5} = 2x+5$.
4. La integral es $\frac{7}{5} \ln|x-1| + \frac{3}{5} \ln|x+4| + C$.

### Un factor lineal al cuadrado

Calcula $\int \frac{3x-1}{(x+2)^{2}} \, dx$.

1. El factor $x+2$ está elevado a $2$, así que hay dos numeradores constantes: $\frac{A}{x+2} + \frac{B}{(x+2)^{2}}$. [1](#fuente-fra-lin)
2. $3x-1 = A(x+2) + B$. Con $x = -2$, $B = -7$. El coeficiente de $x$ da $A = 3$, y el término suelto cierra: $2A + B = 6 - 7 = -1$.
3. $\int \frac{3}{x+2} \, dx - 7 \int (x+2)^{-2} \, dx = 3\ln|x+2| + \frac{7}{x+2} + C$.
4. Un solo sumando $\frac{A}{(x+2)^{2}}$ no alcanza: faltaría el logaritmo, y al sumar no recuperarías el $3x$.

### Primero se divide

Calcula $\int \frac{x^{2}+x}{x-2} \, dx$.

1. El grado de arriba no es menor. $(x-2)(x+3) = x^{2}+x-6$, así que $\frac{x^{2}+x}{x-2} = x+3 + \frac{6}{x-2}$. [1](#fuente-fra-lin)
2. No hace falta un sistema de dos incógnitas: el resto ya es una fracción de la tabla.
3. $\int \left(x+3 + \frac{6}{x-2}\right) dx = \frac{x^{2}}{2} + 3x + 6\ln|x-2| + C$.
4. Partir en fracciones sin dividir, como si el grado ya sirviera, plantea un sistema que no corresponde a esta fracción.

## Errores comunes

Descomponer cuando el numerador tiene grado mayor o igual. El primer paso es la división. El cociente es un polinomio, no una fracción. [1](#fuente-fra-lin)

Poner una sola constante sobre $(ax+b)^{n}$ y olvidar las potencias de abajo. O poner $Ax+B$ sobre un factor lineal: ahí el numerador es constante. El lineal en el numerador se reserva al cuadrático sin raíces reales. [1](#fuente-fra-lin)

Perder el valor absoluto en el logaritmo de un lineal, o integrar $\frac{1}{(x+2)^{2}}$ como logaritmo. Esa potencia negativa usa la regla de la potencia, no $\ln|x+2|$. [1](#fuente-fra-lin)

Resolver $A$ y $B$ y no sumar para comprobar. Una forma mal escrita también "da" números. La suma con denominador común es la prueba de que eran los correctos. [1](#fuente-fra-lin)

## Cómo lo pregunta el examen

Suelen dar una racional ya factorizada, o un denominador que se parte en dos lineales, y preguntan $A$ y $B$ o la integral. El caso repetido pide la forma con dos o más sumandos, a veces sin llegar a integrar. Si el grado de arriba empata o gana, el reactivo espera la división antes de los coeficientes. Sustituye las raíces para despejar rápido y revisa que la suma devuelva el numerador del enunciado.

## Resumen

- Grado de arriba menor que el de abajo. Si no, divide y descompón solo el resto. [1](#fuente-fra-lin)
- Cada lineal distinto aporta una constante sobre ese factor. [1](#fuente-fra-lin)
- Un lineal repetido aporta una constante por cada potencia, de $1$ hasta $n$. [1](#fuente-fra-lin)
- Un cuadrático sin raíces reales lleva numerador de grado $1$. [1](#fuente-fra-lin)
- Los lineales integran a logaritmos. Lo que queda como $\frac{1}{u^{2}+a^{2}}$ integra a un arco tangente. [1](#fuente-fra-lin)

## Practica este concepto

Reactivos como los del examen. Contesta antes de mirar: recordar es lo que fija lo que leíste.

- [Integrar funciones racionales con fracciones parciales (4 reactivos)](https://quede.app/materias/matematicas/integral/fracciones-parciales)

## Dudas comunes

### ¿Qué hago si el numerador tiene grado mayor o igual?

Primero divides. El cociente es un polinomio, que se integra con la potencia, y el residuo, ya de grado menor, se parte en fracciones.

### ¿Un factor lineal repetido lleva un solo sumando?

No. (ax+b) elevado a n pide n fracciones: desde el factor simple hasta la potencia n, cada una con su constante.

### ¿Cuándo el numerador de un sumando es Ax+B y no una constante?

Cuando el factor es un cuadrático irreducible, uno sin raíces reales. Un lineal, repetido o no, lleva constante.

### ¿Cómo compruebo A y B?

Vuelves a sumar las fracciones con el denominador común. Si recuperaste el numerador original, los coeficientes sirven.

## Para saber más

Esta página está escrita desde estas fuentes. Cada número del texto lleva a la suya.

1. Gilbert Strang y Edwin "Jed" Herman.  [Cálculo volumen 2](https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-2/pages/3-4-fracciones-parciales) . OpenStax, Rice University , 2022.
    
    Sección 3.4, fracciones parciales · Licencia CC BY-NC-SA 4.0

Actualizado el 3 de octubre de 2026.

 

[Índice de Matemáticas](https://quede.app/aprende/matematicas)

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