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title: "Elipse: vértices, focos y ejes · Quedé"
description: "Qué son el centro, los vértices, los focos y los dos ejes de una elipse, y cómo se leen cuando la ecuación ya está escrita en forma ordinaria."
url: "https://quede.app/aprende/matematicas/elementos-de-la-elipse"
updated: "2026-10-03"
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# La elipse: definición, vértices, focos y ejes

Matemáticas [Elipse](https://quede.app/materias/matematicas/elipse)

Una elipse reúne los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, los focos, es constante. Esa constante es mayor que la distancia entre los focos.[1](#fuente-eli-def)

Actualizado el 3 de octubre de 2026 4 min de lectura

## Antes de esto

Esta página da por hecho que ya entiendes:

- [Distancia entre dos puntos y punto medio Cómo medir el tramo entre dos puntos del plano cartesiano y cómo hallar el punto que queda justo a la mitad del segmento. 3 min](https://quede.app/aprende/matematicas/distancia-entre-dos-puntos)

## ¿Dónde quedan el centro, los vértices y los focos?

Toma dos alfileres, uno en cada foco, y un hilo más largo que la separación entre ellos. Un lápiz que mantiene el hilo tenso recorre la elipse: en cada punto, la suma de las distancias a los dos focos es la longitud del hilo. En la ecuación esa suma es $2a$. [1](#fuente-eli-def)

El tramo más largo de la curva se llama eje mayor y el más corto, eje menor. Cada extremo del eje mayor es un vértice. Cada extremo del eje menor es un covértice. El centro es el punto que parte los dos ejes por la mitad, y los ejes se cruzan ahí en perpendicular. Los focos siempre quedan sobre el eje mayor. Esta ficha se queda con elipses de ejes horizontales o verticales. La [ecuación ordinaria](https://quede.app/aprende/matematicas/ecuacion-de-la-elipse) se arma con el centro, con $a$ y con $b$. [1](#fuente-eli-def)

Si el centro es el origen y el eje mayor es horizontal, la forma es

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

con $a > b$. El eje mayor mide $2a$ y los vértices son $(\pm a, 0)$. El eje menor mide $2b$ y los covértices son $(0, \pm b)$. Los focos son $(\pm c, 0)$, con $c^2 = a^2 - b^2$. [1](#fuente-eli-def)

Si el eje mayor es vertical y el centro sigue en el origen, los denominadores se intercambian:

$$\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$$

también con $a > b$. Los vértices pasan a $(0, \pm a)$, los covértices a $(\pm b, 0)$ y los focos a $(0, \pm c)$. La relación entre $a$, $b$ y $c$ no cambia. [1](#fuente-eli-def)

Cuando el centro es $(h, k)$ y el eje mayor es paralelo al eje horizontal, se escribe

$$\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$$

Los vértices son $(h \pm a, k)$, los covértices son $(h, k \pm b)$ y los focos son $(h \pm c, k)$. Si el eje mayor es paralelo al eje vertical, $a^2$ queda bajo el binomio de $y$: vértices $(h, k \pm a)$, covértices $(h \pm b, k)$ y focos $(h, k \pm c)$. [1](#fuente-eli-def)

## Ideas clave

- **Definición.** La suma de distancias de un punto de la curva a los dos focos es constante e igual a $2a$. Esa suma supera la distancia $2c$ entre los focos. [1](#fuente-eli-def)
- **Ejes.** El eje mayor une los vértices. El eje menor une los covértices. El centro parte ambos por la mitad y los dos ejes son perpendiculares. [1](#fuente-eli-def)
- **Centro en el origen, eje mayor horizontal.** $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, con $a > b$. Vértices $(\pm a, 0)$, covértices $(0, \pm b)$, focos $(\pm c, 0)$. [1](#fuente-eli-def)
- **Centro en el origen, eje mayor vertical.** $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$, con $a > b$. Vértices $(0, \pm a)$, covértices $(\pm b, 0)$, focos $(0, \pm c)$. [1](#fuente-eli-def)
- **Centro en $(h, k)$.** La abscisa del centro entra en el binomio de $x$ y la ordenada entra en el de $y$. El eje mayor horizontal corre los focos en la abscisa. El eje mayor vertical los corre en la ordenada. [1](#fuente-eli-def)
- **Relación de $c$.** $c^2 = a^2 - b^2$. Como $a > c > 0$ en una elipse no degenerada, $b^2$ sale positivo. [1](#fuente-eli-def)

## Ejemplos resueltos

### Eje mayor horizontal y centro en el origen

De $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$, halla vértices, covértices y focos.

1. El denominador mayor está bajo $x$, así que el eje mayor es horizontal. $a^2 = 25$ y $b^2 = 16$. Entonces $a = 5$ y $b = 4$. [1](#fuente-eli-def)
2. Vértices $(\pm 5, 0)$. Covértices $(0, \pm 4)$. El eje mayor mide 10 y el menor mide 8. [1](#fuente-eli-def)
3. $c^2 = 25 - 16 = 9$, luego $c = 3$. Focos $(\pm 3, 0)$. [1](#fuente-eli-def)
4. La suma constante es $2a = 10$. La distancia entre los focos es 6, que es menor que 10. [1](#fuente-eli-def)

### Eje mayor vertical y centro en el origen

De $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{36} = 1$, lee los mismos elementos.

1. El denominador mayor está bajo $y$. $a^2 = 36$, $b^2 = 9$, así que $a = 6$ y $b = 3$. [1](#fuente-eli-def)
2. Vértices $(0, \pm 6)$. Covértices $(\pm 3, 0)$. [1](#fuente-eli-def)
3. $c^2 = 36 - 9 = 27$, luego $c = 3\sqrt{3}$. Focos $(0, \pm 3\sqrt{3})$. [1](#fuente-eli-def)

### Una ecuación que todavía no está dividida

Pasa $4x^2 + 9y^2 = 36$ a la forma ordinaria y di hacia dónde es el eje mayor.

1. Divide entre 36: $\frac{4x^2}{36} + \frac{9y^2}{36} = 1$, o sea $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$. [1](#fuente-eli-def)
2. $a^2 = 9$ está bajo $x$ y $b^2 = 4$ está bajo $y$. El eje mayor es horizontal. $a = 3$, $b = 2$. [1](#fuente-eli-def)
3. Vértices $(\pm 3, 0)$. Covértices $(0, \pm 2)$. $c^2 = 9 - 4 = 5$, focos $(\pm \sqrt{5}, 0)$. [1](#fuente-eli-def)

## Errores comunes

Poner el denominador mayor bajo la variable del eje menor. $a$ es el semieje mayor. Si el eje mayor es vertical, $a^2$ va bajo $y$, aunque la $x$ se escriba primero. [1](#fuente-eli-def)

Tomar $c^2 = a^2 + b^2$. En la elipse se resta: $c^2 = a^2 - b^2$. Sumar colocaría los focos más lejos que los vértices, y eso no cabe en esta definición. [1](#fuente-eli-def)

Llamar vértice a un extremo del eje menor. Esos extremos son los covértices. Los vértices son solo los del eje mayor, y los focos están en ese mismo eje. [1](#fuente-eli-def)

Leer $h$ y $k$ con el signo que se ve dentro del paréntesis. En $(x - 1)$ la abscisa del centro es 1. En $(y + 2)$ la ordenada del centro es $-2$. [1](#fuente-eli-def)

## Cómo lo pregunta el examen

Si la ecuación ya es ordinaria, compara denominadores. El mayor es $a^2$ y te dice el eje mayor. Saca $a$ y $b$ con raíz positiva, luego $c$ desde $c^2 = a^2 - b^2$. Escribe vértices, covértices y focos según el eje sea horizontal o vertical. [1](#fuente-eli-def)

Si el centro no es el origen, lee $h$ y $k$ en los binomios y corre cada punto desde $(h, k)$. Misma ordenada en vértices y focos: el eje mayor va en horizontal. Misma abscisa: va en vertical. [1](#fuente-eli-def)

Si la ecuación llega como $Ax^2 + By^2 = F$, con $A$, $B$ y $F$ positivos y $A \neq B$, divide entre $F$ hasta ver 1 del lado derecho. El denominador que quede más grande marca el eje mayor. [1](#fuente-eli-def)

## Resumen

- La elipse suma distancias constantes, iguales a $2a$, hacia dos focos.
- El eje mayor une vértices. El eje menor une covértices. El centro parte los dos.
- $a^2$ es el denominador mayor y va bajo la variable del eje mayor.
- $c^2 = a^2 - b^2$, y los focos quedan sobre el eje mayor, más cerca que los vértices.
- Con centro $(h, k)$ se restan $h$ y $k$ dentro de cada binomio.

## Practica este concepto

Reactivos como los del examen. Contesta antes de mirar: recordar es lo que fija lo que leíste.

- [Obtener vértices, focos y ejes de una elipse (5 reactivos)](https://quede.app/materias/matematicas/elipse/elementos-elipse)
- [Usar la suma constante de distancias a los focos que define la elipse (3 reactivos)](https://quede.app/materias/matematicas/elipse/elipse-lugar-geometrico)

## Dudas comunes

### ¿Los focos están sobre la curva?

No. Cada foco es un punto fijo de la definición. Los vértices y los covértices sí son puntos de la curva.

### ¿Cuál denominador corresponde al eje mayor?

El mayor. En estas fichas a es el semieje mayor, así que a al cuadrado es el denominador más grande y va bajo la variable de ese eje.

### ¿El eje mayor puede ser vertical?

Sí. Si es vertical, a al cuadrado queda bajo y. Los vértices y los focos comparten entonces la abscisa del centro.

### ¿La suma constante puede ser más corta que la distancia entre los focos?

No. La suma vale 2a y la distancia entre los focos vale 2c, con a mayor que c. Si la suma no alcanza, no hay curva.

## Sigue con

Conceptos que se apoyan en este.

- [Ecuación de la elipse Cómo armar la ecuación ordinaria de una elipse si te dan los vértices y los focos, o el centro junto con las longitudes de los ejes. 3 min](https://quede.app/aprende/matematicas/ecuacion-de-la-elipse)

## Se entiende mejor junto con

- [La hipérbola: vértices, focos y asíntotas Qué son el centro, los vértices, los focos y las asíntotas de una hipérbola, y cómo se leen cuando la ecuación ya está escrita en forma ordinaria. 5 min](https://quede.app/aprende/matematicas/elementos-de-la-hiperbola)

## Para saber más

Esta página está escrita desde estas fuentes. Cada número del texto lleva a la suya.

1. Jay Abramson.  [Algebra and Trigonometry 2e](https://openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/12-1-the-ellipse) . OpenStax, Rice University , 2021.
    
    Sección 12.1, la elipse

Actualizado el 3 de octubre de 2026.

 

[Índice de Matemáticas](https://quede.app/aprende/matematicas)

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