--- title: "Ecuación de la parábola · Quedé" description: "Cómo se escribe la ecuación ordinaria de una parábola si te dan el foco y la directriz, o bien el vértice junto con el foco." url: "https://quede.app/aprende/matematicas/ecuacion-de-la-parabola" updated: "2026-10-03" --- # Ecuación de la parábola Matemáticas [Parábola](https://quede.app/materias/matematicas/parabola) Si conoces el foco y la directriz, el vértice es el punto medio y p es la distancia con signo del vértice al foco. Con eso se elige la forma ordinaria.[1](#fuente-par-ec) Actualizado el 3 de octubre de 2026 3 min de lectura ## Antes de esto Esta página da por hecho que ya entiendes: - [La parábola: vértice, foco, directriz y lado recto Qué son el vértice, el foco, la directriz y el lado recto de una parábola, y cómo se leen en la ecuación ordinaria escrita. 3 min](https://quede.app/aprende/matematicas/elementos-de-la-parabola) ## ¿Qué ecuación corresponde a esos datos? Con vértice en el origen, el foco $(p, 0)$ da $y^2 = 4px$ y el foco $(0, p)$ da $x^2 = 4py$. Si el vértice es $(h, k)$, las mismas formas cambian $x$ por $x - h$ y $y$ por $y - k$. Los [elementos](https://quede.app/aprende/matematicas/elementos-de-la-parabola) se leen al revés: aquí se parte de ellos para escribir la ecuación. [1](#fuente-par-ec) El signo de $p$ no se quita al armar $4p$. Un foco a la izquierda del vértice, o debajo, deja $p$ negativo y la curva abre hacia ese lado. [1](#fuente-par-ec) ## Ideas clave - **Foco sobre el eje horizontal, vértice en el origen.** El foco $(p, 0)$ y la directriz $x = -p$ dan $y^2 = 4px$. [1](#fuente-par-ec) - **Foco sobre el eje vertical, vértice en el origen.** El foco $(0, p)$ y la directriz $y = -p$ dan $x^2 = 4py$. [1](#fuente-par-ec) - **Vértice trasladado, eje horizontal.** La ordenada queda al cuadrado: $(y - k)^2 = 4p(x - h)$. El punto fijo tiene abscisa $h + p$ y la misma ordenada $k$. [1](#fuente-par-ec) - **Vértice trasladado, eje vertical.** La abscisa queda al cuadrado: $(x - h)^2 = 4p(y - k)$. El punto fijo tiene ordenada $k + p$ y la misma abscisa $h$. [1](#fuente-par-ec) - **Cómo sale p.** Del vértice al foco, sobre el eje. Si el foco está hacia los negativos, $p$ es negativo. [1](#fuente-par-ec) - **Forma general.** Se desarrollan los binomios y se pasa todo a un lado. La curva no cambia. [1](#fuente-par-ec) ## Ejemplos resueltos ### Foco y directriz, vértice en el origen Escribe la ecuación con foco $(0, -4)$ y directriz $y = 4$. 1. El foco tiene la forma $(0, p)$, así que el eje es vertical y la forma es $x^2 = 4py$. [1](#fuente-par-ec) 2. $p = -4$. Entonces $4p = -16$. [1](#fuente-par-ec) 3. $x^2 = -16y$. Abre hacia abajo, del lado del foco. [1](#fuente-par-ec) 4. El vértice es el punto medio entre $(0, -4)$ y la recta $y = 4$, o sea $(0, 0)$. [1](#fuente-par-ec) ### Vértice y foco El vértice es $(5, 1)$ y el foco es $(5, 4)$. Escribe la forma ordinaria y la general. 1. El foco está en la misma abscisa, 3 unidades arriba. El eje es vertical y $p = 3$. [1](#fuente-par-ec) 2. $(x - 5)^2 = 12(y - 1)$. [1](#fuente-par-ec) 3. Desarrolla: $x^2 - 10x + 25 = 12y - 12$. Pasa todo: $x^2 - 10x - 12y + 37 = 0$. [1](#fuente-par-ec) 4. La directriz, si la piden, es $y = 1 - 3 = -2$. No hace falta para escribir la ecuación. [1](#fuente-par-ec) ### Foco y directriz fuera del origen El foco es $(-2, 3)$ y la directriz es $x = 2$. Escribe la ecuación. 1. Foco y directriz comparten la ordenada del vértice. El punto medio de las abscisas $-2$ y $2$ es $0$, así que el vértice es $(0, 3)$. [1](#fuente-par-ec) 2. El foco está 2 unidades a la izquierda del vértice. $p = -2$ y el eje es horizontal. [1](#fuente-par-ec) 3. $(y - 3)^2 = 4(-2)(x - 0)$, o sea $(y - 3)^2 = -8x$. [1](#fuente-par-ec) 4. No uses $p = 2$. El foco está del lado negativo de $x$, y ese signo abre la curva a la izquierda. [1](#fuente-par-ec) ## Errores comunes Elegir $x^2 = 4py$ cuando el foco es $(p, 0)$. Ese foco está sobre el eje horizontal y la variable al cuadrado es $y$. [1](#fuente-par-ec) Borrar el signo de $p$ antes de multiplicar por 4. Si $p = -4$, $4p$ vale $-16$, no 16. [1](#fuente-par-ec) Medir $p$ desde el foco hasta la directriz y usar esa distancia completa. $p$ es solo el tramo del vértice al foco, la mitad del tramo del foco a la directriz. [1](#fuente-par-ec) Olvidar restar $h$ y $k$ cuando el vértice no es el origen. Copiar $x^2 = 4py$ con un vértice $(5, 1)$ describe otra curva, con vértice en $(0, 0)$. [1](#fuente-par-ec) ## Cómo lo pregunta el examen Si dan foco y directriz, halla el punto medio: ese es el vértice. El eje es perpendicular a la directriz. $p$ lleva el signo del lado en el que está el foco. Luego sustituye en la forma que corresponda. [1](#fuente-par-ec) Si dan vértice y foco, la coordenada que cambia te dice el eje, y la resta te da $p$. Escribe $(x - h)^2 = 4p(y - k)$ o $(y - k)^2 = 4p(x - h)$. [1](#fuente-par-ec) Si piden la forma general, desarrolla y deja cero de un lado. No cambies el signo de $4p$ en ese paso: el desarrollo ya arrastra el signo. [1](#fuente-par-ec) ## Resumen - Con vértice en el origen, $y^2 = 4px$ o $x^2 = 4py$ según el eje. - Con vértice $(h, k)$ se reemplazan $x$ por $x - h$ y $y$ por $y - k$. - $p$ es la distancia con signo del vértice al foco. - El foco del lado negativo deja $4p$ negativo. - La forma general es la ordinaria desarrollada y igualada a cero. ## Practica este concepto Reactivos como los del examen. Contesta antes de mirar: recordar es lo que fija lo que leíste. - [Obtener la ecuación de una parábola a partir de sus elementos (6 reactivos)](https://quede.app/materias/matematicas/parabola/ecuacion-parabola) ## Dudas comunes ### ¿El foco (0, p) usa la ecuación con x al cuadrado? Sí, cuando el vértice es el origen. El foco sobre el eje vertical corresponde a x al cuadrado igual a 4py. ### ¿p puede ser negativo en la ecuación? Sí. El signo dice hacia dónde abre. 4p se multiplica tal como sale, con su signo. ### ¿Hace falta la directriz si ya tengo vértice y foco? No. p es el desplazamiento del vértice al foco, sobre el eje. La directriz queda al otro lado, a la misma distancia. ### ¿La forma general es otra parábola? No. Es la ordinaria desarrollada, con todo pasado a un solo lado. ## Sigue con Conceptos que se apoyan en este. - [Cómo identificar una cónica por su ecuación general Con los coeficientes de una ecuación de segundo grado se distingue circunferencia, elipse, parábola o hipérbola, y se vigila el caso degenerado. 6 min](https://quede.app/aprende/matematicas/identificar-una-conica) ## Se entiende mejor junto con - [Centro y radio desde la ecuación general Cómo se leen el centro y el radio cuando la ecuación de la circunferencia llega en forma general y hay que completar los cuadrados. 3 min](https://quede.app/aprende/matematicas/centro-y-radio-de-la-circunferencia) ## Para saber más Esta página está escrita desde estas fuentes. Cada número del texto lleva a la suya. 1. Jay Abramson. [Algebra and Trigonometry 2e](https://openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/12-3-the-parabola) . OpenStax, Rice University , 2021. Sección 12.3, escribir la ecuación Actualizado el 3 de octubre de 2026. [Índice de Matemáticas](https://quede.app/aprende/matematicas) --- Quedé (https://quede.app) prepara para el examen de admisión UNAM e IPN. - Índice para agentes: https://quede.app/llms.txt - API de datos abierta, sin autenticación: https://quede.app/api/v1/datos (OpenAPI: https://quede.app/openapi.json) - Skill para agentes: https://quede.app/.well-known/agent-skills/admision-unam-ipn/SKILL.md - Sitemap: https://quede.app/sitemap.xml