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title: "Ecuación de la elipse · Quedé"
description: "Cómo armar la ecuación ordinaria de una elipse si te dan los vértices y los focos, o el centro junto con las longitudes de los ejes."
url: "https://quede.app/aprende/matematicas/ecuacion-de-la-elipse"
updated: "2026-10-03"
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# Ecuación de la elipse

Matemáticas [Elipse](https://quede.app/materias/matematicas/elipse)

Si conoces los vértices y los focos, el centro es el promedio de los vértices, a es la mitad de su separación y b al cuadrado sale de a al cuadrado menos c al cuadrado.[1](#fuente-eli-ec)

Actualizado el 3 de octubre de 2026 3 min de lectura

## Antes de esto

Esta página da por hecho que ya entiendes:

- [La elipse: definición, vértices, focos y ejes Qué son el centro, los vértices, los focos y los dos ejes de una elipse, y cómo se leen cuando la ecuación ya está escrita en forma ordinaria. 4 min](https://quede.app/aprende/matematicas/elementos-de-la-elipse)

## ¿Qué ecuación corresponde a esos vértices y focos?

Los nombres de cada pieza, cuando la ecuación ya está escrita, están en [vértices, focos y ejes](https://quede.app/aprende/matematicas/elementos-de-la-elipse). Aquí el camino es al revés: partes de los puntos y dejas la ecuación igualada a 1. [1](#fuente-eli-ec)

Primero mira qué coordenada comparten los vértices. Si comparten la ordenada, el eje largo es horizontal. Si comparten la abscisa, es vertical. El centro es el promedio de los dos vértices. La distancia de un vértice al centro es el semieje largo, $a$. La distancia de un foco al centro es $c$. El semieje corto sale de $b^2 = a^2 - c^2$. [1](#fuente-eli-ec)

Con eje largo horizontal el cuadrado de $a$ divide al binomio de $x$, y el de $b$ divide al de $y$. Con eje largo vertical es al contrario: $a^2$ divide al binomio de $y$. En los dos casos $a > b$ y $a > c$. [1](#fuente-eli-ec)

## Ideas clave

- **Orientación.** Vértices con la misma ordenada: eje largo horizontal. Vértices con la misma abscisa: eje largo vertical. Los focos repiten esa misma coordenada fija. [1](#fuente-eli-ec)
- **Centro y semieje largo.** El centro promedia las coordenadas de los vértices. $a$ es la distancia del centro a un vértice, así que la separación entre vértices es $2a$. [1](#fuente-eli-ec)
- **Semieje corto.** $c$ es la distancia del centro a un foco. Luego $b^2 = a^2 - c^2$. No se suma. [1](#fuente-eli-ec)
- **Dónde va cada cuadrado.** El cuadrado más grande, $a^2$, divide a la variable del eje largo. El otro, $b^2$, divide a la variable del eje corto. [1](#fuente-eli-ec)
- **Centro fuera del origen.** En lugar de $x$ y $y$ se escriben $x - h$ y $y - k$, con $(h, k)$ el centro. [1](#fuente-eli-ec)
- **Forma desarrollada.** Completar cuadrados y dividir para dejar 1 a la derecha no cambia la curva. Solo la deja lista para leer $a$, $b$ y el centro. [1](#fuente-eli-ec)

## Ejemplos resueltos

### Vértices y focos sobre el eje horizontal

Escribe la ecuación con vértices $(\pm 9, 0)$ y focos $(\pm 7, 0)$.

1. Los cuatro puntos tienen ordenada 0, así que el eje largo es horizontal y el centro es $(0, 0)$. [1](#fuente-eli-ec)
2. Del centro a un vértice hay 9, luego $a = 9$ y $a^2 = 81$. Del centro a un foco hay 7, luego $c = 7$. [1](#fuente-eli-ec)
3. $b^2 = 81 - 49 = 32$. Como el eje largo es horizontal, 81 divide a $x^2$ y 32 divide a $y^2$. [1](#fuente-eli-ec)
4. $\frac{x^2}{81} + \frac{y^2}{32} = 1$. [1](#fuente-eli-ec)

### Vértices y focos con el centro fuera del origen

Los vértices son $(4, 0)$ y $(4, 8)$. Los focos son $(4, 2)$ y $(4, 6)$. Escribe la ecuación.

1. La abscisa 4 se repite, así que el eje largo es vertical. El centro promedia las ordenadas 0 y 8: $(4, 4)$. [1](#fuente-eli-ec)
2. $a = 4$, porque del centro al vértice $(4, 8)$ hay 4. $c = 2$, porque del centro al foco $(4, 6)$ hay 2. [1](#fuente-eli-ec)
3. $b^2 = 16 - 4 = 12$. El cuadrado grande, 16, divide al binomio de $y$. El 12 divide al de $x$. [1](#fuente-eli-ec)
4. $\frac{(x - 4)^2}{12} + \frac{(y - 4)^2}{16} = 1$. [1](#fuente-eli-ec)

### De la forma desarrollada a la ordinaria

Pasa $4x^2 + y^2 - 8x + 4y - 8 = 0$ a la forma ordinaria y da el centro.

1. $4x^2 - 8x + y^2 + 4y = 8$. [1](#fuente-eli-ec)
2. $4(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) = 8$. Completa: $4(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = 8 + 4 + 4$. [1](#fuente-eli-ec)
3. $4(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16$. Divide entre 16: $\frac{(x - 1)^2}{4} + \frac{(y + 2)^2}{16} = 1$. [1](#fuente-eli-ec)
4. El centro es $(1, -2)$. El denominador mayor está bajo $y$, así que el eje largo es vertical, $a^2 = 16$ y $b^2 = 4$. [1](#fuente-eli-ec)

## Errores comunes

Dividir $a$ entre el eje corto porque $x$ se escribe primero. El cuadrado grande acompaña al eje largo, sea horizontal o vertical. En el segundo ejemplo, 16 va con $y$ aunque $x$ abra la ecuación. [1](#fuente-eli-ec)

Sumar $c^2$ a $a^2$ para hallar $b^2$. La cuenta es una resta. Si $c$ vale 7 y $a$ vale 9, el cuadrado que falta es $81 - 49$, no $81 + 49$. [1](#fuente-eli-ec)

Usar la distancia entre los dos focos como si ya fuera $c$. Esa distancia es $2c$. $c$ es solo el tramo del centro a uno de ellos. [1](#fuente-eli-ec)

Olvidar el signo al leer el centro. En $(y + 2)^2$ la ordenada del centro es $-2$, porque $y - k = y + 2$ implica $k = -2$. [1](#fuente-eli-ec)

## Cómo lo pregunta el examen

Si dan vértices y focos, promedia los vértices para el centro, mide $a$ y $c$ desde ese centro y calcula $b^2 = a^2 - c^2$. La coordenada que no cambia te dice si $a^2$ divide a $x$ o a $y$. [1](#fuente-eli-ec)

Si dan el centro y las longitudes de los ejes, la longitud del eje largo es $2a$ y la del corto es $2b$. Te falta saber la dirección. Sin focos, la orientación tiene que venir en el enunciado: horizontal o vertical. Luego sustituye $h$, $k$, $a^2$ y $b^2$. [1](#fuente-eli-ec)

Si la ecuación llega desarrollada, agrupa $x$ y $y$, completa cada cuadrado y divide entre el número de la derecha hasta dejar 1. El centro sale de los binomios. El denominador mayor es $a^2$. [1](#fuente-eli-ec)

## Resumen

- El centro es el promedio de los vértices.
- $a$ mide del centro a un vértice. $c$ mide del centro a un foco.
- $b^2$ se obtiene restando $c^2$ de $a^2$.
- $a^2$ divide a la variable del eje largo.
- Con centro $(h, k)$ cada variable se escribe restando esa coordenada.

## Practica este concepto

Reactivos como los del examen. Contesta antes de mirar: recordar es lo que fija lo que leíste.

- [Obtener la ecuación de una elipse a partir de sus elementos (7 reactivos)](https://quede.app/materias/matematicas/elipse/ecuacion-elipse)

## Dudas comunes

### ¿Cómo sé si el eje largo es horizontal?

Si los vértices y los focos tienen la misma ordenada, el eje largo es horizontal. Si tienen la misma abscisa, es vertical.

### ¿Qué hago si la ecuación llega sin estar dividida entre un número?

Pasa los términos con x y con y a un lado, completa cuadrados y divide para dejar 1 a la derecha.

### ¿El número que va bajo el eje corto puede salir negativo?

No en una elipse. Si al restar obtienes un negativo, la distancia del centro al foco superó al semieje largo y los datos no cierran.

### ¿El centro es el origen cuando no hay restas dentro de los binomios?

Sí. Si la ecuación solo tiene x al cuadrado y y al cuadrado, el centro está en (0, 0).

## Sigue con

Conceptos que se apoyan en este.

- [Cómo identificar una cónica por su ecuación general Con los coeficientes de una ecuación de segundo grado se distingue circunferencia, elipse, parábola o hipérbola, y se vigila el caso degenerado. 6 min](https://quede.app/aprende/matematicas/identificar-una-conica)

## Se entiende mejor junto con

- [Ecuación de la hipérbola Cómo se escribe la ecuación ordinaria de una hipérbola si te dan los vértices y los focos, o bien una ecuación todavía desarrollada. 4 min](https://quede.app/aprende/matematicas/ecuacion-de-la-hiperbola)

## Para saber más

Esta página está escrita desde estas fuentes. Cada número del texto lleva a la suya.

1. Jay Abramson.  [Algebra and Trigonometry 2e](https://openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/12-1-the-ellipse) . OpenStax, Rice University , 2021.
    
    Sección 12.1, escribir la ecuación

Actualizado el 3 de octubre de 2026.

 

[Índice de Matemáticas](https://quede.app/aprende/matematicas)

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