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title: "Ecuación de la circunferencia · Quedé"
description: "Cómo se escribe la ecuación de una circunferencia cuando conoces el centro y el radio, o el centro y un punto que está en la curva."
url: "https://quede.app/aprende/matematicas/ecuacion-de-la-circunferencia"
updated: "2026-10-03"
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# Ecuación de la circunferencia

Matemáticas [Circunferencia](https://quede.app/materias/matematicas/circunferencia)

Una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que están a una misma distancia de un punto fijo. Esa distancia es el radio y el punto fijo es el centro.[1](#fuente-cir-def)

Actualizado el 3 de octubre de 2026 3 min de lectura

## Antes de esto

Esta página da por hecho que ya entiendes:

- [Distancia entre dos puntos y punto medio Cómo medir el tramo entre dos puntos del plano cartesiano y cómo hallar el punto que queda justo a la mitad del segmento. 3 min](https://quede.app/aprende/matematicas/distancia-entre-dos-puntos)

## ¿Qué ecuación escribe una circunferencia?

El centro $(h, k)$ y el radio $r$ bastan. La forma ordinaria es $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$. Sale de la distancia: el radio es la distancia del centro a un punto $(x, y)$ de la curva, y esa distancia se eleva al cuadrado. El [cuadrado de un binomio](https://quede.app/aprende/matematicas/productos-notables) sirve después, cuando quieres la misma ecuación ya desarrollada. [1](#fuente-cir-def)

Si el centro es el origen, $h$ y $k$ valen 0 y la ecuación se acorta a $x^2 + y^2 = r^2$. Si el centro no es el origen, cada coordenada se resta dentro de su paréntesis. Un paréntesis con suma, como $x + 3$, es una resta de un número negativo: el centro tiene abscisa $-3$. [1](#fuente-cir-def)

## Ideas clave

- **Definición.** La circunferencia reúne todos los puntos de un plano que están a una distancia fija de un punto dado. Ese punto es el centro $(h, k)$. La distancia fija es el radio $r$. [1](#fuente-cir-def)
- **Forma ordinaria.** $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$. A la derecha va el radio al cuadrado. [1](#fuente-cir-def)
- **Centro en el origen.** La ecuación queda $x^2 + y^2 = r^2$. [1](#fuente-cir-def)
- **Radio desde un punto.** Si conoces el centro y un punto de la curva, $r$ es la distancia entre esos dos puntos. Luego sustituyes centro y radio en la forma ordinaria. [1](#fuente-cir-def)
- **Centro de un diámetro.** Si te dan los dos extremos de un diámetro, el centro es el punto medio. El radio es la distancia de ese centro a uno de los extremos. [1](#fuente-cir-def)
- **Forma general.** Al desarrollar los binomios y pasar todo a un lado queda $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$. Es la misma circunferencia. [1](#fuente-cir-def)

## Ejemplos resueltos

### Centro y radio dados

Escribe la ecuación con centro $(1, -4)$ y radio 3.

1. $h = 1$, $k = -4$, $r = 3$. [1](#fuente-cir-def)
2. $(x - 1)^2 + (y - (-4))^2 = 3^2$. [1](#fuente-cir-def)
3. $(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 9$.
4. No pongas 3 del lado derecho. Ahí va el cuadrado del radio.

Con centro en el origen y radio 6, la forma ordinaria es $x^2 + y^2 = 36$. Al pasar el 36 queda la forma general $x^2 + y^2 - 36 = 0$. El término $+36$ no describe la misma curva: el número cambió de signo. [1](#fuente-cir-def)

### El centro y un punto de la curva

El centro es $(-2, 5)$ y la curva pasa por $(1, 1)$. Escribe la ecuación.

1. El radio es la distancia entre esos puntos: $r = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{25} = 5$. [1](#fuente-cir-def)
2. $h = -2$ y $k = 5$, así que $(x - (-2))^2 + (y - 5)^2 = 25$. [1](#fuente-cir-def)
3. $(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 25$.
4. El punto $(1, 1)$ está en la curva. No es el centro. Si lo usaras como $(h, k)$, la ecuación describiría otra circunferencia.

### Un diámetro

Los extremos de un diámetro son $C(0, 0)$ y $D(8, 6)$. Escribe la forma ordinaria y luego la general.

1. El centro es el punto medio: $\left(\frac{0 + 8}{2}, \frac{0 + 6}{2}\right) = (4, 3)$. [1](#fuente-cir-def)
2. El radio es la distancia del centro a $C$: $r = \sqrt{(0 - 4)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$. [1](#fuente-cir-def)
3. Forma ordinaria: $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 25$. [1](#fuente-cir-def)
4. Desarrolla: $x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 = 25$. Junta: $x^2 + y^2 - 8x - 6y = 0$. [1](#fuente-cir-def)

## Errores comunes

Poner el radio, y no su cuadrado, del lado derecho. Con radio 3 la ecuación termina en 9. [1](#fuente-cir-def)

Copiar el signo del centro tal como viene en el par. El centro $(1, -4)$ produce $x - 1$ y $y + 4$, porque restar $-4$ es sumar 4. [1](#fuente-cir-def)

Tomar como radio el diámetro completo. Si el diámetro mide 10, el radio mide 5. [1](#fuente-cir-def)

Usar el punto de la curva como si fuera el centro. El centro es el punto fijo. El otro punto solo sirve para medir $r$. [1](#fuente-cir-def)

## Cómo lo pregunta el examen

Si dan centro y radio, sustituye en $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ y simplifica el signo de cada paréntesis. [1](#fuente-cir-def)

Si dan el centro y un punto de la curva, primero mide la distancia y eleva ese radio al cuadrado. Si dan los extremos de un diámetro, el centro es el punto medio y el radio es la distancia del centro a un extremo. [1](#fuente-cir-def)

Para la forma general, desarrolla los dos cuadrados y pasa el número de la derecha al lado izquierdo, con el signo cambiado. [1](#fuente-cir-def)

## Resumen

- La circunferencia son los puntos del plano a distancia $r$ del centro $(h, k)$.
- La forma ordinaria es $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$.
- Con centro en el origen queda $x^2 + y^2 = r^2$.
- Un punto de la curva, o los extremos de un diámetro, permiten hallar el radio.
- Al desarrollar y dejar cero a la derecha se obtiene la forma general.

## Practica este concepto

Reactivos como los del examen. Contesta antes de mirar: recordar es lo que fija lo que leíste.

- [Obtener la ecuación de una circunferencia a partir de sus elementos (9 reactivos)](https://quede.app/materias/matematicas/circunferencia/ecuacion-circunferencia)

## Dudas comunes

### ¿El radio va al cuadrado en la ecuación?

Sí. Del lado derecho queda r al cuadrado, no r. Si el radio es 5, a la derecha va 25.

### ¿El centro se copia con el mismo signo que tiene en el par ordenado?

No. En (x - h) el número h entra restando. Si el centro tiene abscisa negativa, esa resta se ve como una suma.

### ¿Un punto de la curva alcanza para escribir la ecuación?

Alcanza si ya tienes el centro. El radio es la distancia de ese centro al punto.

### ¿La forma general es otra circunferencia?

No. Es la misma ecuación, solo que los binomios ya se multiplicaron y todo quedó de un lado.

## Sigue con

Conceptos que se apoyan en este.

- [Centro y radio desde la ecuación general Cómo se leen el centro y el radio cuando la ecuación de la circunferencia llega en forma general y hay que completar los cuadrados. 3 min](https://quede.app/aprende/matematicas/centro-y-radio-de-la-circunferencia)

## Para saber más

Esta página está escrita desde estas fuentes. Cada número del texto lleva a la suya.

1. Lynn Marecek y Andrea Honeycutt Mathis.  [Intermediate Algebra 2e](https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/11-1-distance-and-midpoint-formulas-and-circles) . OpenStax, Rice University , 2020.
    
    Sección 11.1, distancia, punto medio y circunferencias · Licencia CC BY-NC-SA 4.0

Actualizado el 3 de octubre de 2026.

 

[Índice de Matemáticas](https://quede.app/aprende/matematicas)

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