--- title: "Derivación implícita · Quedé" description: "Si y no está despejada, se derivan los dos lados, se trata y como función de x con la cadena y al final se despeja dy/dx." url: "https://quede.app/aprende/matematicas/derivacion-implicita" updated: "2026-10-03" --- # Derivación implícita Matemáticas [La derivada](https://quede.app/materias/matematicas/derivada) La derivación implícita halla dy/dx en una ecuación que no despeja y. Se derivan los dos lados, y cada término con y aporta un factor dy/dx.[1](#fuente-imp-pas) Actualizado el 3 de octubre de 2026 3 min de lectura ## Antes de esto Esta página da por hecho que ya entiendes: - [Regla de la cadena La derivada de una composición es la derivada de la función de afuera, evaluada en la de adentro, por la derivada de adentro. 3 min](https://quede.app/aprende/matematicas/regla-de-la-cadena) - [Funciones implícitas y explícitas Qué es una fórmula explícita, cuándo una ecuación solo da una regla implícita para y, y por qué un círculo no siempre deja una sola salida. 5 min](https://quede.app/aprende/matematicas/funciones-implicitas-y-explicitas) ## ¿Cómo se deriva cuando y no está despejada? Si $y$ se escribe por completo en términos de $x$, como $y = x^{2} + 1$, la función es explícita. Si la relación es una ecuación donde $y$ no queda toda en términos de $x$, como $y - x^{2} = 1$, la misma función está definida de forma implícita. Una ecuación puede definir varias funciones. [Cuando y no queda despejada](https://quede.app/aprende/matematicas/funciones-implicitas-y-explicitas), la gráfica a veces no pasa la prueba de la recta vertical. Aun así, trozos de esa gráfica sí son funciones, y cada trozo tiene su tangente. [1](#fuente-imp-pas) Derivar de forma implícita encuentra $\frac{dy}{dx}$ sin despejar $y$. Sirve justo cuando despejar es incómodo o imposible. Los pasos son estos: 1. Deriva los dos lados. $y$ es función de $x$, así que entra la [cadena, de afuera hacia adentro](https://quede.app/aprende/matematicas/regla-de-la-cadena). Por eso $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$, pero $\frac{d}{dx}(\sin y) = \cos y \cdot \frac{dy}{dx}$. 2. Junta a la izquierda todo término que traiga $\frac{dy}{dx}$. El resto pasa a la derecha. 3. Factoriza $\frac{dy}{dx}$ en la izquierda. 4. Divide entre la expresión que quedó multiplicando a $\frac{dy}{dx}$. El resultado suele depender de $x$ y de $y$. A veces se puede dejar solo en $x$. En general no. La misma pendiente sirve para la tangente. Se sustituye el punto en $\frac{dy}{dx}$ y se arma la recta con la forma punto-pendiente. Si el punto está en la rama de abajo de una circunferencia, se usa esa $y$ negativa. La fórmula $-\frac{x}{y}$ ya cambia de signo al cambiar el signo de $y$. Para una segunda derivada se vuelve a derivar $\frac{dy}{dx}$, otra vez con la cadena y con el cociente si la primera derivada es un cociente. Donde todavía aparezca $\frac{dy}{dx}$, se sustituye la expresión ya obtenida. Si la ecuación original relaciona $x^{2} + y^{2}$ con una constante, esa relación puede simplificar el numerador. ## Ideas clave - **Explícita o no.** Explícita: $y$ está escrita solo con $x$. Implícita: la ecuación no despeja $y$. [1](#fuente-imp-pas) - **Cuatro pasos.** Deriva ambos lados, aísla los términos con $\frac{dy}{dx}$, factoriza y divide. [1](#fuente-imp-pas) - **Cadena en y.** Cada $y$ aporta un factor $\frac{dy}{dx}$. La de $y^{2}$ es $2y\frac{dy}{dx}$. [1](#fuente-imp-pas) - **Dos variables.** $\frac{dy}{dx}$ puede quedar en $x$ y en $y$. El punto dice cuál rama usas. [1](#fuente-imp-pas) - **Tangente.** La pendiente en el punto es esa derivada evaluada ahí. [1](#fuente-imp-pas) - **Segunda.** Se deriva otra vez y se sustituye $\frac{dy}{dx}$ por lo que ya salió. [1](#fuente-imp-pas) ## Ejemplos resueltos ### Una circunferencia que no es la del origen con radio 5 Si $x^{2} + y^{2} = 10$, halla $\frac{dy}{dx}$. 1. Deriva: $2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$. La constante 10 da 0. [1](#fuente-imp-pas) 2. Pasa $2x$ a la derecha: $2y\frac{dy}{dx} = -2x$. 3. Divide entre $2y$, con $y \neq 0$: $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$. 4. En $(1, 3)$, que cumple $1 + 9 = 10$, la pendiente es $-\frac{1}{3}$. En $(1, -3)$ sería $\frac{1}{3}$. Misma fórmula, otra rama. ### Segunda derivada en esa curva Con $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$, halla $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$. 1. Deriva el cociente: $\frac{d}{dx}\left(-\frac{x}{y}\right) = -\frac{y - x\frac{dy}{dx}}{y^{2}} = \frac{-y + x\frac{dy}{dx}}{y^{2}}$. [1](#fuente-imp-pas) 2. Sustituye $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$: el numerador es $-y + x\left(-\frac{x}{y}\right) = -y - \frac{x^{2}}{y} = \frac{-y^{2} - x^{2}}{y}$. 3. Toda la fracción queda $\frac{-y^{2} - x^{2}}{y^{3}} = -\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}}$. 4. Como $x^{2} + y^{2} = 10$, $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\frac{10}{y^{3}}$. ### Un producto con y Si $x^{2} y = 4$, halla la pendiente en $(2, 1)$. 1. Producto en el lado izquierdo: $2x \cdot y + x^{2} \frac{dy}{dx} = 0$. [1](#fuente-imp-pas) 2. $x^{2} \frac{dy}{dx} = -2xy$, así que $\frac{dy}{dx} = -\frac{2y}{x}$ si $x \neq 0$. 3. El punto $(2, 1)$ está en la curva porque $4 \cdot 1 = 4$. La pendiente es $-\frac{2}{2} = -1$. 4. No derives $x^{2} y$ como si $y$ fuera constante. Perderías el término $x^{2} \frac{dy}{dx}$. ## Errores comunes Derivar $y^{2}$ como $2y$ y no multiplicar por $\frac{dy}{dx}$. Eso trata a $y$ como si no dependiera de $x$. [1](#fuente-imp-pas) Despejar $y$ a la fuerza y quedarte con una sola rama. En $x^{2} + y^{2} = 10$ hay dos funciones. El punto dice cuál. Olvidar que la constante del lado derecho deriva a 0, o mover un término con $\frac{dy}{dx}$ a la derecha sin cambiarle el signo. Sustituir el punto antes de derivar. Primero sale la fórmula de la pendiente. El punto entra al evaluar. ## Cómo lo pregunta el examen Dan una ecuación con $x$ y $y$ mezcladas y piden $\frac{dy}{dx}$, a veces ya evaluada como pendiente de la tangente en un punto de la curva. El punto cumple la ecuación. Si no la cumple, no está en la gráfica y no hay tangente que pedir. El trabajo es derivar con la cadena, juntar los factores $\frac{dy}{dx}$ y sustituir al final. No hace falta despejar $y$ si la pendiente quedó en términos de las dos variables. ## Resumen - Una ecuación puede definir $y$ sin despejarla, y a veces define más de una función. [1](#fuente-imp-pas) - Se derivan los dos lados y cada $y$ trae su $\frac{dy}{dx}$ por la cadena. [1](#fuente-imp-pas) - Se aísla, se factoriza y se divide para despejar $\frac{dy}{dx}$. [1](#fuente-imp-pas) - La pendiente en un punto es esa expresión evaluada en el punto. [1](#fuente-imp-pas) - La segunda derivada se obtiene derivando otra vez y sustituyendo la primera. [1](#fuente-imp-pas) ## Practica este concepto Reactivos como los del examen. Contesta antes de mirar: recordar es lo que fija lo que leíste. - [Derivar implícitamente ecuaciones con productos, raíces y funciones trigonométricas (3 reactivos)](https://quede.app/materias/matematicas/derivada/derivacion-implicita) ## Dudas comunes ### ¿Hay que despejar y antes de derivar? No. Esa es la gracia del método. Se deriva la ecuación completa y al final se despeja dy/dx, que puede quedar en términos de x y de y. ### ¿Por qué y^2 no deriva como 2y a secas? Porque y depende de x. La cadena multiplica: la derivada de y^2 es 2y por dy/dx. ### ¿Una ecuación implícita define una sola función? No siempre. x^2 + y^2 = 10 deja una rama con y positiva y otra con y negativa. La pendiente usa la y del punto que te den. ## Para saber más Esta página está escrita desde estas fuentes. Cada número del texto lleva a la suya. 1. Gilbert Strang y Edwin "Jed" Herman. [Cálculo volumen 1](https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-1/pages/3-8-diferenciacion-implicita) . OpenStax, Rice University , 2022. Sección 3.8, diferenciación implícita · Licencia CC BY-NC-SA 4.0 Actualizado el 3 de octubre de 2026. [Índice de Matemáticas](https://quede.app/aprende/matematicas) --- Quedé (https://quede.app) prepara para el examen de admisión UNAM e IPN. - Índice para agentes: https://quede.app/llms.txt - API de datos abierta, sin autenticación: https://quede.app/api/v1/datos (OpenAPI: https://quede.app/openapi.json) - Skill para agentes: https://quede.app/.well-known/agent-skills/admision-unam-ipn/SKILL.md - Sitemap: https://quede.app/sitemap.xml