--- title: "Definición épsilon-delta · Quedé" description: "Cómo se escribe el límite con épsilon y delta, por qué x no llega a valer a, y cómo se elige delta en una recta de pendiente constante." url: "https://quede.app/aprende/matematicas/definicion-formal-de-limite" updated: "2026-10-03" --- # Definición épsilon-delta del límite Matemáticas [Límites](https://quede.app/materias/matematicas/limites) QUEDEMATH0QUEDEMATH significa que para cada épsilon positivo hay un delta positivo tal que, si x está cerca de a y no es a, entonces f(x) está cerca de L.[1](#fuente-eps-def) Actualizado el 3 de octubre de 2026 5 min de lectura ## Antes de esto Esta página da por hecho que ya entiendes: - [Límites: qué son y cómo calcularlos Qué significa que una función se acerque a un número, y cómo calcular ese límite con las leyes, sin evaluar el hueco del dominio. 5 min](https://quede.app/aprende/matematicas/limites) - [Desigualdades cuadráticas, racionales y con valor absoluto Cómo resolver una cuadrática por factores y pruebas, una racional por cortes donde se anula o no existe, y un valor absoluto como distancia. 6 min](https://quede.app/aprende/matematicas/desigualdades-no-lineales) ## ¿Cómo se escribe el límite con épsilon y delta? La idea de "se acerca" ya está en [límites](https://quede.app/aprende/matematicas/limites). La definición precisa le pone números a las dos cercanías. Quien pregunta dice: quiero las imágenes a menos de $\varepsilon$ de $L$, y $\varepsilon$ puede ser cualquier positivo, por chico que sea. Tú respondes con un $\delta$ positivo: si la entrada está a menos de $\delta$ de $a$, y no es $a$, entonces la imagen cae en esa franja. En la fila, $\varepsilon$ es cuántos centímetros toleras de error en el andén, y $\delta$ es cuánto antes del tren tienes que estar mirando para que el error ya quepa. OpenStax lo enuncia así. Supón que $f$ está definida para todos los $x$ de un intervalo abierto que contiene a $a$, salvo quizá en $a$. Supón que $L$ es un número real. Entonces $\lim_{x \to a} f(x) = L$ si para cada $\varepsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que, si $x$ cumple la cercanía a $a$ que marca $\delta$, entonces $f(x)$ cumple la cercanía a $L$ que marca $\varepsilon$. En símbolos, la condición de entrada que separa al punto es $$0 < |x - a| < \delta \quad \text{implica} \quad |f(x) - L| < \varepsilon$$ El glosario resume la misma forma: para cada $\varepsilon$ existe un $\delta$ tal que si la entrada cumple, la imagen cumple. La tabla de la sección lo lee en orden. "Para cada" es cada distancia positiva $\varepsilon$ desde $L$. "Existe un" es una distancia positiva $\delta$ desde $a$. "Si, entonces" dice: si $x$ está más cerca que $\delta$ de $a$, y no se pide el propio $a$, entonces $f(x)$ está más cerca que $\varepsilon$ de $L$. El cuantificador universal va primero. No basta con que existan un épsilon y un delta: tiene que haber delta para cada épsilon. [1](#fuente-eps-def) [2](#fuente-eps-tabla) [3](#fuente-eps-glosario) El valor absoluto $|x - a|$ es la distancia en la recta, la misma que estudiaste en [desigualdades](https://quede.app/aprende/matematicas/desigualdades-no-lineales). El cero estricto deja fuera $x = a$. Por eso el límite puede ser 6 aunque alguien haya definido $f(a) = 2$. Al sustituir en la fórmula sin simplificar y obtener 0/0 tampoco se concluye que el límite no existe: 0/0 pide reescribir, y la definición ni siquiera mira $f(a)$. [4](#fuente-eps-leyes) En una recta $f(x) = mx + b$, la cuenta de delta es corta. Quieres $|m||x - a| < \varepsilon$, así que $|x - a| < \varepsilon / |m|$, con $m \neq 0$. Un delta que sirve para todo épsilon es $\delta = \varepsilon / |m|$. Un delta más grande, como $\varepsilon$ cuando $|m| > 1$, no garantiza la franja. ## Ideas clave - **El orden de los cuantificadores.** Para cada $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$. Al revés, o con un solo par que exista, no es la definición. [1](#fuente-eps-def) [2](#fuente-eps-tabla) - **La implicación.** $0 < |x - a| < \delta$ obliga $|f(x) - L| < \varepsilon$. Sin el cero estricto estarías exigiendo también el valor en $a$. [1](#fuente-eps-def) - **Épsilon manda, delta responde.** Delta puede depender de épsilon. Épsilon no se elige después de delta. [2](#fuente-eps-tabla) - **El punto no importa.** Si la función simplificada tiende a $L$, el límite es $L$ aunque $f(a)$ sea distinto o la sustitución directa se vea como 0/0. [4](#fuente-eps-leyes) - **Recta.** Si $|f(x) - L| = |m||x - a|$, entonces $\delta = \varepsilon / |m|$ funciona para todo $\varepsilon > 0$. [1](#fuente-eps-def) ## Ejemplos resueltos ### Cuál enunciado es la definición Tienes cuatro frases para $\lim_{x \to a} f(x) = L$. 1. La buena empieza por "para cada $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$" y sigue con "si $0 < |x - a| < \delta$, entonces $|f(x) - L| < \varepsilon$". [1](#fuente-eps-def) 2. Si quitas el $0 <$, la frase pide que $x = a$ también cumpla $|f(a) - L| < \varepsilon$ para todo épsilon, o sea $f(a) = L$. Eso es más de lo que el límite dice. [1](#fuente-eps-def) 3. Si cambias el orden y pides que la cercanía de $f$ implique la de $x$, estás leyendo la implicación al revés. Si solo dices "existen épsilon y delta", un par flojo no cubre todos los épsilon. [2](#fuente-eps-tabla) ### El valor en el punto no entra $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^{2} - 16}{x - 4} & x \neq 4 \\ 1 & x = 4 \end{cases}$$ ¿Cuánto vale $\lim_{x \to 4} f(x)$? 1. Para $x \neq 4$, $x^{2} - 16 = (x - 4)(x + 4)$, y el cociente es $x + 4$. [4](#fuente-eps-leyes) 2. $\lim_{x \to 4} (x + 4) = 8$. La definición usa entradas distintas de 4, así que $f(4) = 1$ no se mete en la cuenta. [1](#fuente-eps-def) 3. No existe no es la respuesta. Tampoco 1. El 0/0 de la fórmula sin simplificar era la forma de antes de cancelar, no un límite inexistente. [4](#fuente-eps-leyes) ### Delta para una recta Demuestra con la definición que $\lim_{x \to 1} (2x + 3) = 5$, y elige un delta que sirva para todo $\varepsilon > 0$. 1. Hay que lograr $|(2x + 3) - 5| < \varepsilon$ siempre que $0 < |x - 1| < \delta$. [1](#fuente-eps-def) 2. $|(2x + 3) - 5| = |2x - 2| = 2|x - 1|$. Pides $2|x - 1| < \varepsilon$, esto es $|x - 1| < \varepsilon / 2$. [1](#fuente-eps-def) 3. Sirve $\delta = \varepsilon / 2$. No sirve $\delta = 2\varepsilon$: ese delta es más ancho que la franja que la pendiente 2 puede aguantar. Con $|x - 1| = \varepsilon$, la imagen se aleja $2\varepsilon$, que no es menor que $\varepsilon$. ## Errores comunes No intercambies $\varepsilon$ y $\delta$. Épsilon mide imágenes y se cuantifica con "para cada". Delta mide entradas y se cuantifica con "existe". La frase que pone delta primero y épsilon después no es la definición. [2](#fuente-eps-tabla) No aceptes la implicación invertida. Que las imágenes estén cerca no es la hipótesis: es la conclusión. La hipótesis es que las entradas ya están cerca, y distintas del punto. [1](#fuente-eps-def) No uses $f(a)$ para decidir el límite. Si la opción dice que no existe porque $f(a)$ difiere de $L$, esa opción confunde continuidad con límite. El límite formal deja el punto fuera. [1](#fuente-eps-def) [4](#fuente-eps-leyes) En la recta, no pongas delta igual a épsilon si la pendiente no es 1 ni $-1$. Divide entre el valor absoluto de la pendiente. Multiplicar por la pendiente agranda el delta y la prueba se cae. [1](#fuente-eps-def) ## Cómo lo pregunta el examen En la pregunta de enunciados, subraya tres cosas y descarta en ese orden: "para cada" épsilon, luego "existe" delta, luego la implicación con $0 < |x - a|$ a la izquierda y $|f(x) - L|$ a la derecha. Una sola pieza cambiada invalida la frase. [1](#fuente-eps-def) [2](#fuente-eps-tabla) Si la función está definida con un valor raro en el punto, simplifica la pieza de los demás $x$ y sustituye en la expresión ya limpia. El valor raro es un distractor. [4](#fuente-eps-leyes) Si piden un delta para $mx + b$, resta $L$, factoriza $m$ y divide el épsilon entre $|m|$. La opción correcta es un cociente, no un producto, cuando $|m| > 1$. [1](#fuente-eps-def) ## Resumen - Para cada $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$, en ese orden. - $0 < |x - a| < \delta$ implica $|f(x) - L| < \varepsilon$. - El propio punto $a$ no entra, así que $f(a)$ puede no ser $L$. - Un par suelto de épsilon y delta no reemplaza al "para cada". - En $mx + b$, un delta que siempre sirve es $\varepsilon / |m|$. ## Practica este concepto Reactivos como los del examen. Contesta antes de mirar: recordar es lo que fija lo que leíste. - [Reconocer la definición épsilon-delta del límite y aplicarla (3 reactivos)](https://quede.app/materias/matematicas/limites/definicion-formal-limite) ## Dudas comunes ### ¿Épsilon y delta se pueden intercambiar en la definición? No. Épsilon es la cercanía que te exigen en las imágenes, y se pide para cada una. Delta es la cercanía que tú encuentras en las entradas, y depende de ese épsilon. ### ¿La definición obliga a que f(a) sea L? No. La condición exige 0 < |x - a|, así que x no es a. El valor f(a) puede ser otro, o no existir, y el límite puede ser L. ### ¿Cualquier delta positivo sirve? No. Tiene que funcionar para todo épsilon. En una recta de pendiente m, un delta que sirve siempre es épsilon partido entre |m|. ## Para saber más Esta página está escrita desde estas fuentes. Cada número del texto lleva a la suya. 1. Gilbert Strang y Edwin "Jed" Herman. [Cálculo volumen 1](https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-1/pages/2-5-la-definicion-precisa-de-un-limite) . OpenStax, Rice University , 2022. Sección 2.5, definición épsilon-delta · Licencia CC BY-NC-SA 4.0 2. Gilbert Strang y Edwin "Jed" Herman. [Cálculo volumen 1](https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-1/pages/2-5-la-definicion-precisa-de-un-limite) . OpenStax, Rice University , 2022. Sección 2.5, lectura frase por frase de la definición · Licencia CC BY-NC-SA 4.0 3. Gilbert Strang y Edwin "Jed" Herman. [Cálculo volumen 1](https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-1/pages/2-terminos-clave) . OpenStax, Rice University , 2022. Términos clave, definición épsilon-delta · Licencia CC BY-NC-SA 4.0 4. Gilbert Strang y Edwin "Jed" Herman. [Cálculo volumen 1](https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-1/pages/2-3-las-leyes-de-los-limites) . OpenStax, Rice University , 2022. Sección 2.3, el límite no usa el valor en el punto · Licencia CC BY-NC-SA 4.0 Actualizado el 3 de octubre de 2026. [Índice de Matemáticas](https://quede.app/aprende/matematicas) --- Quedé (https://quede.app) prepara para el examen de admisión UNAM e IPN. - Índice para agentes: https://quede.app/llms.txt - API de datos abierta, sin autenticación: https://quede.app/api/v1/datos (OpenAPI: https://quede.app/openapi.json) - Skill para agentes: https://quede.app/.well-known/agent-skills/admision-unam-ipn/SKILL.md - Sitemap: https://quede.app/sitemap.xml