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title: "Polares (r, θ) y el par (x, y) · Quedé"
description: "Un punto polar lleva radio y ángulo. x = r cos θ e y = r sin θ lo pasan al plano, y r sale de la raíz de x al cuadrado más y al cuadrado."
url: "https://quede.app/aprende/matematicas/coordenadas-polares"
updated: "2026-10-03"
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# Coordenadas polares y conversión a rectangulares

Matemáticas [Coordenadas polares y paramétricas](https://quede.app/materias/matematicas/coordenadas-polares)

En el plano polar el punto es QUEDEMATH0QUEDEMATH: $r$ es la distancia dirigida desde el polo y QUEDEMATH1QUEDEMATH el ángulo desde el eje polar. Para pasarlo a $(x, y)$ se usa QUEDEMATH2QUEDEMATH e QUEDEMATH3QUEDEMATH.[1](#fuente-po-pol)

Actualizado el 3 de octubre de 2026 4 min de lectura

## Antes de esto

Esta página da por hecho que ya entiendes:

- [Ángulos en cualquier cuadrante y fórmulas de reducción Cómo el ángulo de referencia conserva el valor absoluto del seno y del coseno, y cómo el cuadrante decide el signo con la x y la y. 5 min](https://quede.app/aprende/matematicas/angulos-en-cualquier-cuadrante)

## ¿Cómo se pasa un punto de polares a rectangulares?

El plano rectangular usa $(x, y)$. El polar etiqueta $(r, \theta)$ sobre círculos con centro en el polo, que es el origen. El eje polar es el eje $x$ positivo. $r$ es el largo del segmento dirigido desde el polo. $\theta$ se mide en radianes, en sentido contrario a las manecillas, desde ese eje. El libro también iguala $60^\circ$ con $\pi/3$ en el círculo unitario, así que un examen en grados nombra el mismo ángulo. [1](#fuente-po-pol) [2](#fuente-po-uni)

## Ideas clave

- Para graficar $(r, \theta)$ se gira $\theta$ desde el eje polar y se recorre $r$. El par se escribe con $r$ primero. [1](#fuente-po-pol)
- $x = r\cos\theta$ e $y = r\sin\theta$. Salen de $\cos\theta = x/r$ y $\sin\theta = y/r$, el cateto adyacente y el opuesto sobre la hipotenusa. [1](#fuente-po-pol)
- Al revés, $r^2 = x^2 + y^2$ y $\tan\theta = y/x$. Un $(x, y)$ da más de un par polar. [1](#fuente-po-pol)
- Si $r$ es negativo, el segmento se traza en la dirección opuesta a $\theta$. El ejemplo $(-2, \pi/6)$ cae en el tercer cuadrante. [1](#fuente-po-pol)
- En $60^\circ$, o $\pi/3$, el punto del círculo de radio 1 tiene $x = 1/2$ e $y = \sqrt{3}/2$. En $30^\circ$, o $\pi/6$, es $(\sqrt{3}/2, 1/2)$. [2](#fuente-po-uni)
- La distancia entre dos puntos polares es el lado de un triángulo SAS. La ley de los cosenos dice $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$. [3](#fuente-po-cos)

El paso de ida es directo. Dado $(r, \theta)$, escribes $x = r\cos\theta$ e $y = r\sin\theta$, evalúas seno y coseno, y multiplicas por $r$. El libro convierte $(3, \pi/2)$ en $(0, 3)$, porque $\cos(\pi/2) = 0$ y $\sin(\pi/2) = 1$. Convierte $(-2, 0)$ en $(-2, 0)$, porque el radio negativo se conserva en la fórmula. [1](#fuente-po-pol)

Al volver, el ejemplo $(3, 3)$ está en el primer cuadrante. $\tan\theta = 3/3 = 1$, así que $\theta = \tan^{-1}(1) = \pi/4$. $r = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$, y se toma positivo porque $\pi/4$ cae en ese cuadrante. El mismo punto también es $(-3\sqrt{2}, 5\pi/4)$: el ángulo extra de $\pi$ apunta al cuadrante opuesto y el radio negativo regresa al primero. [1](#fuente-po-pol)

El ángulo de referencia está entre $0$ y $90^\circ$, o entre $0$ y $\pi/2$. En el segundo o tercer cuadrante es $|\pi - t|$, o $|180^\circ - t|$. En el cuarto es $2\pi - t$, o $360^\circ - t$. El signo de seno y coseno lo da el cuadrante del ángulo original. [2](#fuente-po-uni)

Para dos radios y el ángulo entre ellos, el lado opuesto cumple la ley de los cosenos del caso SAS: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$, y las otras dos fórmulas cambian el ángulo. No hace falta pasar a $(x, y)$ si ya tienes los dos radios y el ángulo incluido. La sección 10.2 no escribe la fórmula con $r\_1$ y $r\_2$: el triángulo es el de los dos radios y la cuerda. [3](#fuente-po-cos)

La curva que sale de una ecuación, y no de un solo punto, está en [la ecuación ya en $x$ e $y$](https://quede.app/aprende/matematicas/ecuaciones-polares-y-parametricas).

## Ejemplos resueltos

### De $(6, \pi/3)$ a $(x, y)$

$\pi/3$ es $60^\circ$. En el círculo unitario, $\cos(\pi/3) = 1/2$ y $\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2$. Entonces

$$x = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3, \qquad y = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}.$$

El punto rectangular es $(3, 3\sqrt{3})$, en el primer cuadrante, igual que el ángulo. [1](#fuente-po-pol) [2](#fuente-po-uni)

### De $(-2, 2)$ a polares con $r > 0$

$r = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. $\tan\theta = 2/(-2) = -1$. $\tan^{-1}(-1) = -\pi/4$ no está en el segundo cuadrante, que es donde vive $(-2, 2)$. El ángulo de ese cuadrante con referencia $\pi/4$ es $\pi - \pi/4 = 3\pi/4$, o $135^\circ$. Con $r > 0$ el par es $(2\sqrt{2}, 3\pi/4)$. [1](#fuente-po-pol) [2](#fuente-po-uni)

### Distancia entre $(3, 0)$ y $(3, \pi/3)$

Los radios miden 3 y el ángulo entre ellos es $\pi/3$, cuyo coseno es $1/2$. La cuerda $d$ cumple

$$d^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 9.$$

Así $d = 3$. Restar los radios solo serviría si el ángulo incluido fuera 0. [3](#fuente-po-cos) [2](#fuente-po-uni)

## Errores comunes

- Escribir el par como $(\theta, r)$. El libro lo escribe $(r, \theta)$ aunque el giro se haga primero. [1](#fuente-po-pol)
- Cambiar seno y coseno. $x$ va con el coseno. $y$ va con el seno. [1](#fuente-po-pol)
- Olvidar multiplicar por $r$. $\cos\theta$ e $\sin\theta$ son del círculo de radio 1. [1](#fuente-po-pol)
- Aceptar $\tan^{-1}(y/x)$ sin mirar el cuadrante. En $(3, 3)$ el libro parte del cuadrante del punto. [1](#fuente-po-pol)
- Usar $r$ negativo cuando el examen pide $r > 0$ y un ángulo en el cuadrante del punto. El radio negativo describe el mismo lugar con otro ángulo. [1](#fuente-po-pol)
- Poner $\sin$ de un periodo en la ley de los cosenos. El coseno es del ángulo incluido, no de un radio. [3](#fuente-po-cos)

## Cómo lo pregunta el examen

Pide el $(x, y)$ de un par polar, el par polar de un $(x, y)$ con $r > 0$ y un ángulo entre $0^\circ$ y $360^\circ$, o la distancia entre dos pares polares. El primero es $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$. El segundo es $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ y el ángulo del cuadrante, no el valor crudo de la tangente inversa. El tercero es la ley de los cosenos con los dos radios y $\theta_2 - \theta_1$. Los números de arriba no son los del banco: el método sí. [1](#fuente-po-pol) [3](#fuente-po-cos)

## Resumen

- $(r, \theta)$ lleva el radio primero y el ángulo desde el eje polar.
- $x = r\cos\theta$ e $y = r\sin\theta$. $r^2 = x^2 + y^2$ y $\tan\theta = y/x$.
- Un $(x, y)$ admite varios pares. $r$ negativo apunta al sentido contrario.
- La tangente inversa no elige el cuadrante: lo elige el punto.
- La distancia entre dos radios es la ley de los cosenos del ángulo incluido.

## Practica este concepto

Reactivos como los del examen. Contesta antes de mirar: recordar es lo que fija lo que leíste.

- [Convertir puntos entre coordenadas polares y rectangulares (3 reactivos)](https://quede.app/materias/matematicas/coordenadas-polares/convertir-coordenadas-polares)

## Dudas comunes

### ¿El ángulo se escribe antes que el radio?

No. Aunque al graficar se gira primero y luego se mide r, el par se escribe (r, θ).

### ¿Un mismo (x, y) tiene un solo par polar?

No. La sección 10.3 muestra que (3√2, π/4) coincide con (-3√2, 5π/4) y con (3√2, -7π/4).

### ¿La tangente inversa ya da el cuadrante?

No sola. En el ejemplo (3, 3) el libro mira primero en qué cuadrante está el punto y exige r positivo si el ángulo cae ahí.

## Sigue con

Conceptos que se apoyan en este.

- [Ecuaciones polares y paramétricas r sin θ es y, y r cos θ es x. Con eso una ecuación polar pasa al plano, y cos² t + sin² t = 1 quita el parámetro de una elipse. 3 min](https://quede.app/aprende/matematicas/ecuaciones-polares-y-parametricas)

## Para saber más

Esta página está escrita desde estas fuentes. Cada número del texto lleva a la suya.

1. Jay Abramson.  [Algebra and Trigonometry 2e](https://openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/10-3-polar-coordinates) . OpenStax, Rice University , 2021.
    
    Algebra and Trigonometry 2e, sección 10.3, coordenadas polares
2. Jay Abramson.  [Algebra and Trigonometry 2e](https://openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/7-3-unit-circle) . OpenStax, Rice University , 2021.
    
    Algebra and Trigonometry 2e, sección 7.3, círculo unitario
3. Jay Abramson.  [Algebra and Trigonometry 2e](https://openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/10-2-non-right-triangles-law-of-cosines) . OpenStax, Rice University , 2021.
    
    Algebra and Trigonometry 2e, sección 10.2, ley de los cosenos

Actualizado el 3 de octubre de 2026.

 

[Índice de Matemáticas](https://quede.app/aprende/matematicas)

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