--- title: "Binomio de Newton y triángulo de Pascal · Quedé" description: "Cómo armar (a + b) elevado a n con el triángulo de Pascal, y cómo sacar un solo término o coeficiente sin desarrollar todo." url: "https://quede.app/aprende/matematicas/binomio-de-newton" updated: "2026-10-02" --- # Binomio de Newton y triángulo de Pascal Matemáticas [Productos notables y factorización](https://quede.app/materias/matematicas/productos-notables-factorizacion) El binomio de Newton desarrolla (a + b) elevado a un entero positivo. Cada término junta un coeficiente del triángulo de Pascal con una potencia de a y otra de b.[1](#fuente-bn-os) Actualizado el 2 de octubre de 2026 4 min de lectura ## Antes de esto Esta página da por hecho que ya entiendes: - [Productos notables Cómo desarrollar el cuadrado y el cubo de un binomio, el producto de conjugados, y por qué el término de en medio decide el acierto. 4 min](https://quede.app/aprende/matematicas/productos-notables) ## ¿Cómo se desarrolla $(a + b)^{n}$? Elevar un binomio a la 2 o a la 3 se puede hacer a mano. A la 5 ya son muchos productos, y el examen a veces pide un solo coeficiente. OpenStax resume el patrón de $(a + b)^{n}$ cuando $n$ es entero positivo: hay $n + 1$ términos, el primero es $a^{n}$, el último es $b^{n}$, los exponentes de $a$ bajan de uno en uno, los de $b$ suben de uno en uno, y en cada término los dos exponentes suman $n$. [1](#fuente-bn-os) Los coeficientes no se inventan. Se leen en el triángulo de Pascal. La fila empieza y termina en 1, y cada número interior es la suma de los dos que tiene arriba. Las primeras filas, contando la de $n = 0$, son 1; luego 1, 1; 1, 2, 1; 1, 3, 3, 1; 1, 4, 6, 4, 1; 1, 5, 10, 10, 5, 1; 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. [1](#fuente-bn-os) La fila de $n$ tiene $n + 1$ números. Para $n = 5$ lees 1, 5, 10, 10, 5, 1. El coeficiente también se calcula sin dibujar el triángulo. El coeficiente binomial $n$ sobre $r$, con $0 \leq r \leq n$, es $$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}$$ Se lee "$n$ en $r$". Ahí se usa $0! = 1$. [1](#fuente-bn-os) Abramson da el término sin desarrollar todo el binomio. El término número $r + 1$ de $(a + b)^{n}$, contando desde 1, es $$\binom{n}{r} a^{n - r} b^{r}$$ El exponente de $b$ es $r$, y el de $a$ es lo que falta para llegar a $n$. [2](#fuente-bn-term) Si el binomio es una resta, escribes $b$ con su signo negativo y ese signo viaja dentro de $b^{r}$. Los cuadrados y cubos de [productos notables](https://quede.app/aprende/matematicas/productos-notables) son los casos $n = 2$ y $n = 3$ de esta misma fila. Aquí el trabajo nuevo es $n$ más grande y el término suelto. ## Ideas clave - **Cuántos términos.** $(a + b)^{n}$ tiene $n + 1$ términos. No $n$. [1](#fuente-bn-os) - **Exponentes.** En el término con $b^{r}$, $a$ queda a la $n - r$. La suma de los exponentes es $n$ en todos. - **Término número $r + 1$.** Vale $\binom{n}{r} a^{n - r} b^{r}$. El cuarto término tiene $r = 3$, no $r = 4$. [2](#fuente-bn-term) - **Signo.** Si desarrollas $(a - c)^{n}$, toma $b = -c$. El signo del término es el de $(-c)^{r}$: negativo cuando $r$ es impar. - **Término completo.** $a$ y $b$ incluyen coeficiente y exponente. $(x^{2})^{3} = x^{6}$, y $(-3y)^{2} = 9y^{2}$. ## Ejemplos resueltos ### Un coeficiente, sin abrir los cinco productos En $(a + 3)^{4}$, ¿cuál es el coeficiente de $a^{2}$? 1. El término con $a^{2}$ tiene $n - r = 2$ y $n = 4$, así que $r = 2$. Es el tercer término, no el segundo. 2. El coeficiente es $\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!\,2!} = \frac{24}{4} = 6$. 3. $b = 3$ y $b^{2} = 9$. 4. El término es $6 \cdot a^{2} \cdot 9 = 54a^{2}$. El coeficiente pedido es 54. La fila de $n = 4$ es 1, 4, 6, 4, 1. El 6 cae justo en $a^{2}b^{2}$. Coincide. ### El cuarto término, en potencias decrecientes Halla el cuarto término de $(3t + 2)^{4}$, ordenado con las potencias de $t$ de mayor a menor. 1. El primer término es $r = 0$, el de $t$ a la 4. El cuarto es $r = 3$. 2. $\binom{4}{3} = 4$. 3. $a^{n - r} = (3t)^{1} = 3t$. 4. $b^{r} = 2^{3} = 8$. 5. $4 \cdot 3t \cdot 8 = 96t$. Si alguien toma $r = 4$, el exponente de $t$ se va a 0 y el término ya no lleva $t$. Ese es el quinto, el último. ### Un cubo con el primer término al cuadrado Desarrolla $(p^{2} - 2)^{3}$. 1. $n = 3$, fila 1, 3, 3, 1. $a = p^{2}$ y $b = -2$. 2. $a^{3} = (p^{2})^{3} = p^{6}$. 3. $3a^{2}b = 3(p^{2})^{2}(-2) = 3p^{4}(-2) = -6p^{4}$. 4. $3ab^{2} = 3(p^{2})(4) = 12p^{2}$, porque $(-2)^{2} = 4$. 5. $b^{3} = (-2)^{3} = -8$. 6. Queda $p^{6} - 6p^{4} + 12p^{2} - 8$. Con $p = 1$, el binomio es $-1$ y $(-1)^{3} = -1$. El desarrollo da $1 - 6 + 12 - 8 = -1$. ## Errores comunes Si cuentas el cuarto término con $r = 4$, te adelantas un lugar. El primer término es $r = 0$. El número de término, contado desde 1, es $r + 1$. Si sumas los exponentes y no te da $n$, cambiaste una potencia a medias. En $(x^{2})^{4}$ el exponente es 8, no 6 ni 4. Si el signo menos se te olvida en las potencias pares, $b^{2}$ te queda negativo. Una potencia par de un negativo es positiva. Si bajas el factorial del coeficiente como $n \cdot r$, no es el binomial. $\binom{5}{2} = 10$, no 7 ni 25. Si desarrollas todo cuando piden un coeficiente, es fácil copiar el término de al lado. Escribe primero $r$ y luego un solo término. ## Cómo lo pregunta el examen En la forma directa te piden el coeficiente de una potencia, el término que ocupa un lugar, o el desarrollo corto de un cubo. Lo primero que anotas es $n$, luego $r$, luego si $b$ es negativo. El desarrollo completo de un cubo se reconoce por la fila 1, 3, 3, 1 y por el exponente del primer sumando: si $a$ ya es un cuadrado, el primer término sube al doble de ese exponente, tres veces. No hay columnas en estos reactivos. El distractor típico usa el coeficiente de Pascal correcto con el exponente mal repartido, o el lugar del término corrido en uno. Sustituir $x = 1$ descarta desarrollos enteros. Para un solo coeficiente, la sustitución no basta: arma $\binom{n}{r} a^{n-r} b^{r}$. ## Resumen - $(a + b)^{n}$ tiene $n + 1$ términos y los exponentes de cada término suman $n$. - La fila de Pascal empieza y termina en 1. Cada interior es suma de los dos de arriba. - El término número $r + 1$ es $\binom{n}{r} a^{n - r} b^{r}$. - En una resta, $b$ entra negativo y el signo depende de $r$ par o impar. - Coeficiente y exponente del término original se elevan juntos. ## Practica este concepto Reactivos como los del examen. Contesta antes de mirar: recordar es lo que fija lo que leíste. - [Obtener un término o coeficiente del binomio de Newton (3 reactivos)](https://quede.app/materias/matematicas/productos-notables-factorizacion/binomio-de-newton) ## Dudas comunes ### ¿El término número 4 usa el coeficiente de la posición 4? Si cuentas desde 1, el término número 4 es el de índice 3. El exponente de b es 3 y el de a es n menos 3. ### ¿Las potencias de a y de b suman otra cosa que n? No. En cada término la suma de los dos exponentes es n. Si no cuadra, el término está mal armado. ### ¿0! vale 0? No. Se define 0! = 1, así el coeficiente de los extremos, n sobre 0 y n sobre n, vale 1. ## Se entiende mejor junto con - [Permutaciones y combinaciones Si el orden cuenta, es una permutación: n! entre (n menos r)!. Si el orden no cuenta, es una combinación y el denominador también lleva r!. 4 min](https://quede.app/aprende/matematicas/permutaciones-y-combinaciones) ## Para saber más Esta página está escrita desde estas fuentes. Cada número del texto lleva a la suya. 1. Lynn Marecek y Andrea Honeycutt Mathis. [Intermediate Algebra 2e](https://openstax.org/books/intermediate-algebra-2e/pages/12-key-concepts) . OpenStax, Rice University , 2020. Cap. 12, conceptos clave del teorema del binomio · Licencia CC BY-NC-SA 4.0 2. Jay Abramson. [Algebra and Trigonometry 2e](https://openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/13-6-binomial-theorem) . OpenStax, Rice University , 2021. Cap. 13.6, Binomial theorem Actualizado el 2 de octubre de 2026. [Índice de Matemáticas](https://quede.app/aprende/matematicas) --- Quedé (https://quede.app) prepara para el examen de admisión UNAM e IPN. - Índice para agentes: https://quede.app/llms.txt - API de datos abierta, sin autenticación: https://quede.app/api/v1/datos (OpenAPI: https://quede.app/openapi.json) - Skill para agentes: https://quede.app/.well-known/agent-skills/admision-unam-ipn/SKILL.md - Sitemap: https://quede.app/sitemap.xml